Аль-Беруни и теорема Архимеда

раздел: “Фамильная” геометрия

ключевые слова: Аль-Беруни, Архимед, ломаная, дуга, вписанные углы, равнобедренный треугольник, дополнительное построение, менелай, построение, тригонометрические формулы

 

Круг интересов Аль-Беруни (973-1048) – замечательного ученого из Хорезма – был необычайно широк. Трактаты по математике, астрономии, физике, географии, фармакологии, медицине – всего около 150 научных работ! Не случайно  его называют крупнейшим ученым-энциклопедистом. Что касается математики, то в трудах Аль-Беруни впервые встречаем доказательство теоремы синусов. Он формулирует в явном виде и решает кубические уравнения  и . Это он поведал нам историю, вернее, задачу-легенду о шахматах и зернах. «Отношение окружности к диаметру иррационально.» – утверждает Аль-Беруни. Он показывает, как по высоте горы определить радиус Земли и приводит точнейшие расчеты. Он первым вводит единичный радиус тригонометрического круга и поясняет, почему так лучше, удобнее, проще. Аль-Беруни тщательно изучает трактаты древнегреческих математиков, математику Индии, работы своих предшественников из Дома Мудрости в Багдаде. При этом беседует, спорит, ведет дружескую переписку со своим выдающимся современником – врачом и философом Ибн Синой.

Принимая своеобразную эстафету от Сабита ибн Корры, Аль-Беруни пишет «Трактат об определении хорд в круге при помощи вписанной в него ломаной линии». Если Сабит ибн Корра сохранил для нас теорему Архимеда, то Аль-Беруни поднял ее значимость на высочайший уровень, дал ей достойнейшее применение.

Теорема Архимеда.

Если вписанная в дугу круга прямая линия сломана на две неравные части и я опущу на нее из середины этой дуги перпендикуляр, то она (ломаная) разделится им пополам.

Согласно рис.1 на ломаную ABC из середины D дуги ABC опущен перпендикуляр DK. Необходимо доказать, что в таком случае ломаная разделится пополам, то есть .

В своем «трактате» Аль-Беруни приводит три доказательства этой теоремы, данные Архимедом. Два из них мы предложим вниманию читателей (третье в значительной степени похоже на второе).

Первое доказательство. (Архимед) Отложим  (рис.2), а также отрезок . Соединим точку D с точками A, N, T, а также A и N. Очевидно,  (равные дуги стягиваются равными хордами) и  (DK – высота и медиана в ).  – вписанные, опираются на равные дуги.

. Но и  (вписанный) следовательно .

 – внешний для .

Но , тогда . Поскольку , то  и  – по двум сторонам и углу между ними. Тогда . Но , т.к.  – по условию,  – по построению.

Получается, что , или , что и требовалось доказать.

Второе доказательство. (Архимед) На продолжении KB за точку B отложим  (рис.3). Тогда  (DK – высота и медиана в ). Но и  (D – середина дуги ABC).

 – вписанные, опираются на одну дугу. И  ( – равнобедренный), отсюда . Поскольку   – равнобедренный () и , то и . Следовательно, и  – равнобедренный и . По построению . Так как , получаем требуемое: .

Аль-Беруни предлагает около 20 способов (!!!) доказательства теоремы Архимеда, демонстрируя разнообразие подходов к решению одной и той же задачи. Сегодня мы знаем, сколь велика педагогическая ценность решения одной задачи многими способами!

А потому – еще три способа доказательства теоремы Архимеда от автора «Трактата».

Третье доказательство. (Аль-Беруни) Проведем  (рис.4).

Очевидно, AQDB – равнобокая трапеция и .  Поскольку  и D – середина дуги ABC, то , а значит, равны и соответствующие хорды:  . Значит,  , или .

Четвертое доказательство. (Аль-Беруни) Отложим  (рис.5).

 Так как D – середина дуги ABC, то .  – вписанные, опираются на одну дугу. Пусть . Тогда . Вписанный . Также и  (смежный с углом DTB). Следовательно, по стороне и двум прилежащим углам равны треугольники ATD и CBD, откуда , что делает задачу решенной.

Пятое доказательство. (Аль-Беруни)Из точки D проведен перпендикуляр DL на прямую CB (рис.6). Поскольку  и , то  – по гипотенузе и острому углу. Значит,  и . Соединим D и B.  (по катету и гипотенузе). Значит,  .  При этом .Следовательно, , что и требовалось доказать.

 

Бережное отношение к теореме Архимеда позволило Аль-Беруни решить ряд задач с ее помощью. Вот, например, каким образом Аль-Беруни решает задачу, приписываемую Менелаю.

Постройте треугольник ABC по следующим элементам: a; A; b+c.

Решение Аль-Беруни. На отрезке  строим сегмент, вмещающий данный угол A (рис.7).

Находим точку D – середину дуги BAC. На DB как на диаметре описываем окружность. А из точки B раствором циркуля, равным  (согласно теореме Архимеда), делаем на ней засечку – получаем точку K. Продолжение BK пересекает окружность в недостающей вершине A. Исследование показывает, что задача может иметь два решения (симметричных), одно решение, ни одного решения (при ).

В своей тригонометрической книге «Канон Масуда по астрономии и звездам» Аль-Беруни доказывает ряд важнейших тригонометрических формул, основываясь на теореме Архимеда. Вот одна из них.

Докажите справедливость следующей тригонометрической формулы:

.

Пусть D – середина дуги ABC, DK – перпендикуляр на AB. Пусть также ,  (рис.8).

Тогда вся дуга ABC равна , а ее половина, .  и  (вписанный). Очевидно, что в равнобедренном треугольнике ADC  (вписанные). По теореме  синусов для  имеем:  и . По этой же теореме для   . Из прямоугольного .

С другой стороны, по теореме Архимеда .

Получаем:

и, после сокращения на R, .

 

И в заключение – несколько задач, в которых «выручает» теорема Архимеда.

Задача 1. Докажите, что проекция диаметра описанной окружности, перпендикулярного первой стороне треугольника, на прямую, содержащую вторую сторону, равна по длине третьей стороне.

Задача 2. Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке W. Докажите, что:

а) ;

б) .

Задача 3. Докажите, что в обозначениях рис.1 выполняется равенство:

Задача 4. B и C – фиксированные точки окружности, по которой произвольно перемещается точка A. Точка K – середина ломаной CAB. Найдите геометрическое место точек K.

 

 

 

 

Г.Филипповский

Русановский лицей, г.Киев