«Смотри!» – педагогическое открытие Бхаскары!

раздел: “Фамильная” геометрия

ключевые слова: Архимед, Евклид, педагогика, хорда окружности, инцентр, квадрат, периметр, одной линейкой

 

В труде Бхаскары (1114 – ~1178) «Венец науки» среди геометрического материала встречаем два доказательства теоремы Пифагора. Одно из них – обычное, с помощью подобия. Зато второе – просто блестящее!..

Под рисунком (рис.1) Бхаскара делает одну-единственную подпись: «Смотри!» А мы сами должны сообразить, что большой квадрат площади  состоит из маленького квадрата площади  и четырех равных прямоугольных треугольников площади  каждый. Откуда . В таком подходе Бхаскары к задаче есть все, что любимо геометрией: лаконичность, наглядность, возможность домысливать, изобретать, испытывать Радость открытия!

Бхаскара блестяще вторит Архимеду, написавшему в письме другу, что он не считает нужным показывать решение задачи полностью – дабы не лишать его, друга, удовольствия самому прийти к этому решению.

А может быть, на эту мысль Бхаскару натолкнуло доказательство Евклидом в I книге «Начал» теоремы о сумме углов треугольника (рис.2). Действительно, нужны ли какие-либо комментарии, кроме «Смотри!»?

Со времен Бхаскары многое изменилось, в том числе и в геометрии. В то же время педагогика слова «Смотри!» не только осталась, но и приобрела еще большую ценность, засияла новыми гранями. Предлагаемая серия задач призвана показать и доказать это.

Между рисунком (а) условия задачи и рисунком (б) с подписью «Смотрите!» может проходить от двух до пяти и более минут – в зависимости от возраста детей, подготовленности класса, целей урока. Решение задачи при рисунке (а) удается далеко не всем учащимся. В то же время рисунок (б) с подписью «Смотрите!», где проведена дополнительная  линия, указаны равные отрезки и углы, – позволяет сделать задачу посильной для всех. А это ли не есть главная педагогическая задача урока?

Задача 1. В треугольнике ABC высота  равна медиане  (рис.3а). Найдите величину угла .

Решение. Смотрите рис.3б!   .

 

Задача 2. AB, BC, CD – три неравные хорды окружности. K, N, T – соответственно их середины (рис.4а). Докажите равенство углов x и y.

Решение. Смотрите рис.4б!

 

Задача 3. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) проведена биссектриса BQ (рс.5а). Докажите, что .

Решение. Смотрите рис.5б!

 

Задача 4. L – основание биссектрисы угла A в треугольнике ABC. Луч LE проведен под углом к BC, равным  A (рис.6а). Докажите, что .

Решение. Смотрите рис.6б!

 

Следующие две задачи (задачи 5 и 6) можно найти в трудах более поздних (XVI столетие) комментаторов трактата Бхаскары.

 

Задача 5. Выведите формулу для площади треугольника:   (рис.7а).

Решение. Смотрите рис.7б!

 

Задача 6. Докажите, что площадь круга равна площади прямоугольника, одна сторона которого есть полуокружность, а другая – радиус.

Решение. Смотрите рис.8!

 

Задача 7. В треугольнике ABC угол A равен . Докажите, что  (R – радиус описанной окружности треугольника ABC).

Решение. Смотрите рис.9!

 

Задача 8. В треугольнике ABC через инцентр I проведен отрезок  (рис.10а). Докажите, что .

Решение. Смотрите рис.10б!

 

Задача 9. Около треугольника ABC с указанным инцентром I  описана окружность (рис.11а). Одной линейкой постройте центр окружности, описанной около .

Решение. Смотрите рис.11б!

 

Задача 10. Окружности  и  пересекаются в точках A и B. Через эти точки произвольно проведены секущие EF и NT (рис.12а). Докажите, что .

Решение. Смотрите рис.12б!

 

Задача 11.  – соответственно середины сторон  треугольника ABC (рис.13а). Докажите, что описанные окружности треугольников   пересекаются в одной точке.

Решение. Смотрите рис.13б!

 

Задача 12. Медианы  и  треугольника ABC пересекаются в точке M (рис.14а). Докажите, что .

Решение. Смотрите рис.14б!

 

Задача 13. Дан квадрат ABCD. KL и QT – препендикулярные отрезки с концами на противоположных сторонах квадрата (рис.15а). Докажите, что .

Решение. Смотрите рис.15б!

 

 

 

Задача 14. Окружности  и  пересекаются в точках A и B. KN – произвольная секущая (рис.16а). Докажите, что .

Решение. Смотрите рис.16б!

 

Задача 15. A – произвольная точка окружности  с центром O. На AO как на диаметре построена окружность . Докажите, что  делит пополам любую хорду AB (рис.17а).

Решение. Смотрите рис.17б!

 

Задача 16. Дан треугольник ABC периметра 2p. Из вершины A проведены перпендикуляры AN и AT на внешние биссектрисы углов B и C соответственно (рис.18а). Найдите длину отрезка NT.

Решение. Смотрите рис.18б!   .

 

Задача 17. В треугольнике ABC проведены внутренние биссектрисы  и . Оказалось, что  – биссектриса угла  (рис.19а). Найдите величину угла A.

Решение. Смотрите рис.19б!    .

 

Задача 18. В окружности радиуса R проведены два перпендикулярных диаметра AB и CD. Из произвольной точки K окружности к ним проведены перпендикуляры KN и KT (рис.20а). Найдите длину NT.

Решение. Смотрите рис.20б!    .

 

Задача 19. (Брахмагупта) Докажите справедливость формулы для треугольника ABC:

 (рис.21а).

Решение. Смотрите рис.21б!

 

Задача 20. Высота  и медиана  образуют равные углы со сторонами AB и AC соответственно (рис.22а). Определите вид треугольника ABC.

Решение. Смотрите рис.22б!

 

Прежде, чем перейти к задачам для самостоятельного решения, в которых может успешно применяться призыв «Смотри!», не забудем поблагодарить Бхаскару за этот мудрый педагогический девиз, приглашающий расти и развиваться.

 

Задача 21. I – точка пересечения биссектрис в треугольнике ABC со стороной .  (рис.23). Найдите периметр треугольника IKN.

Задача 22. На окружности  дана точка A, а внутри окружности – точка I. Постройте треугольник ABC, вписанный в , для которого точка I была бы инцентром.

Задача 23.  и  – соответственно середины сторон AC и AB треугольника ABC. Известно, что точки  лежат на одной окружности. Определите вид треугольника ABC.

Задача 24. В треугольнике ABC со стороной  медианы  и  изаимно перпендикулярны. Найдите длину медианы .

Задача 25. ABCD – вписанный четырехугольник. Докажите, что внутренняя биссектриса угла A и внешняя биссектриса угла C пересекаются на окружности.

Задача 26. AB – хорда некоторой окружности с серединой в точке K. CD – диаметр этой окружности. Отрезок CK продолжен на столько же за точку K и получили точку N (). Докажите, что .

Задача 27. K – произвольная точка внутри треугольника ABC.  и  – точки пересечения медиан соответственно в треугольниках AKC  AKB. Найдите , если известно, что .

Задача 28. CH – высота, проведенная к гипотенузе AB в прямоугольном треугольнике ABC. T – середина CH, Q – середина AH. Докажите, что .

Задача 29.  – основание высоты, проведенной из вершины A в треугольнике ABC. Восстановите треугольник ABC по длинам отрезков , а также длине медианы .

Задача 30. В равнобедренном треугольнике длины равных медиан равны m. Какой может быть наибольшая площадь такого треугольника? (Ответ: )

 

 

 

Г.Филипповский,

Русановский лицей,  г.Киев