Большая хорда ближе к центру

раздел: “Фамильная” геометрия

ключевые слова: дуга, диаметр, равные хорды, радиус окружности, Этьенн Безу, хорда минимальной длины, геометрическое место середин хорд

 

Теорема о том, что большая из двух хорд находится ближе к центру, особых трудностей при доказательстве не вызывает. Действительно, если,  (рис.1) и AB удалена от центра O на расстояние , а CD – на расстояние , то

 (из );  (из ).

Следовательно, .

 

Тем, кто еще не знает теоремы Пифагора, можно предложить, например, такое доказательство.

Пусть . Проведем диаметр  (рис.2).

Отложим на прямой CD отрезок . Точка Q находится вне отрезка CD, т.к. . Пусть окружность с центром в точке C радиуса  пересекает данную окружность в точке T. Очевидно, T  расположена вне дуги CFD, а значит, . Таким образом, большая хорда  стягивает большую дугу. Тогда диаметр EF сначала «встречает» хорду CT (в точке M), а затем – хорду CD (в точке N). Проведем . При этом  (катет не превышает гипотенузу). Поскольку , то тем более , то есть большая хорда расположена ближе к центру.

 

Из доказанной теоремы несложно вывести такие следствия:

Следствие 1. Равные хорды равноудалены от центра окружности.

Следствие 2. Все равные хорды данной окружности касаются некоторой окружности ω, концентрической с данной.

Действительно,  (рис.3) – покажите!

 

Казалось бы, ничего особенного, довольно тривиальные вещи. Все это так. Однако широкое применение доказанной теоремы и следствий из нее заставляет возвращаться к ним снова и снова. В таком случае, не будем избегать разговора. Наоборот, начнем его, поскольку разговор этот представляется важным и полезным.

 

Задача 1. Через точку K  внутри круга проведите хорду минимальной длины.

Решение. Искомой будет хорда AB (рис.4), которая делится точкой K пополам (). Любая другая хорда CD  будет иметь большую длину, т.к. она ближе к центру, чем AB ().

 

 

Задача 2. Биссектриса угла между продолжениями двух равных хорд проходит через центр окружности. Докажите!

Доказательство. Пусть равные хорды AB и CD пересекаются в точке T (рис.5). Соединим T и O. А из центра O проведем перпендикуляры ON или OK к хордам AB и CD соответственно. Поскольку равные хорды равноудалены от центра (), то  (по катету и гипотенузе). Следовательно,  и TO совпадает с биссектрисой угла ATD.

 


Задача 3. Через две данные точки окружности проведите две равные параллельные хорды.

Решение. Пусть A и B – две данные точки окружности (рис.6). Серединный перпендикуляр t к отрезку AB совпадает с диаметром. Хорды  и , проведенные параллельно t, будут искомыми, т.к. они равноудалены от центра O.

 

 

Задача 4. Из точки K вне окружности проведите секущую так, чтобы ее внутренняя часть имела заданную длину. (задача Э.Безу)

Решение. Проведем хорду EF данной длины. Из центра O проведем перпендикуляр ON к ней (рис.7). Затем строим окружность ω радиуса ON,  концентрическую с данной. Касательные, проведенные из точки K к ω в пересечении с данной окружностью дадут искомые хорды AB и CD (покажите!).


Задача 5. В круге проведите хорду данной длины, которая параллельна данному направлению.

Решение. Пусть направление задано вектором . Очевидно, все хорды данной длины касаются окружности ω (рис.8), которая строится таким же образом, как в задаче 4. Пусть перпендикуляр из O  к  пересекает окружность ω в точке T. Тогда хорда AB, проведенная через T перпендикулярно OT, очевидно, является искомой.

Задача 6. Две хорды окружности пересекаются в точке K и делятся в ней пополам. Докажите, что точка K совпадает с центром окружности.

Доказательство. Пусть хорды AB и CD делятся точкой K пополам (рис.9). Тогда отрезок OK является  расстоянием до центра для каждой из хорд. То есть, . Следовательно, ABCD – прямоугольник (параллелограмм с равными диагоналями) и  – диаметры. Поскольку диаметры пересекаются в центре круга, то .

 

Итак, если две хорды, пересекаясь, делятся пополам, то они – диаметры!

 

Задача 7. Найти геометрическое место середин равных хорд.


Ответ. Окружность ω, концентрическая данной (рис.10).

 

Задача 8. Известно, что в треугольнике  центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Верно ли, что данный треугольник – равносторонний?

Решение. Пусть в  центр O описанной и центр I вписанной окружностей совпадают (рис.11). Тогда стороны  равны как равноудаленные от центра хорды окружности, описанной около этого треугольника.

 

Задача 9. В остроугольном треугольнике ABC высота , биссектриса  и медиана , проведенные из вершины A, продлены до пересечения с описанной окружностью треугольника ABC в точках N; W; D соответственно (рис.12). Какая из трех хорд: AN; AW; AD является наибольшей?

Решение. В силу справедливости неравенства  для  становится очевидным, что ближе всех к центру O окружности находится хорда AD. Стало быть, она и является наибольшей.

 

 

Задача 10. Окружность ω проходит через вершины B, C треугольника ABC и его центр I (точку пересечения биссектрис). Вторично ω пересекает прямую AB в точке T, а прямую AC – в точке N. Докажите, что  (рис.13).

Доказательство. Центром окружности ω является точка W пересечения продолжения биссектрисы угла A с описанной около  окружностью. Это так, поскольку  (теорема «трилистника»). Известно, что любая точка биссектрисы равноудалена от сторон, ее содержащих, то есть . Тогда  как равноудаленные от центра хорды в окружности ω.

 

Задача 11. Окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды. Докажите, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Доказательство. Пусть окружность ω высекает на сторонах четырехугольника ABCD равные хорды. Значит, эти хорды равноудалены от ее центра O (рис.14). Но тогда существует окружность  с тем же центром O, которая касается всех сторон четырехугольника ABCD.

 

 

Задача 12. Через точку K внутри круга (рис.15) необходимо провести хорду AB так, чтобы сумма  была  а)  наименьшей;

                                          б)  наибольшей.

Решение.  а) Поскольку , где  (по теореме о произведении отрезков хорд), то

. Это достигается при , т.е. когда мы через K проводим наименьшую хорду .

б)  .

Но . Поэтому .

Очевидно, что сумма  будет наибольшей в случае, когда AB совпадает с диаметром.

 

Задача 13. Две пересекающиеся окружности имеют общую хорду EF. Через произвольную точку отрезка EF проведены наименьшие хорды AB и CD этих окружностей (рис.16). Докажите, что точки A; C; B; D являются вершинами прямоугольника.

Доказательство. Пусть наименьшие хорды AB и CD проведены в окружностях  и  через точку K, принадлежащую EF. Поскольку наименьшие хорды, проходящие через K, делятся этой точкой пополам (задача 1), то  . Кроме того, по теореме о произведении отрезков хорд для окружности :       (1).

По той же теореме для :       (2).

Правые части равенств (1) и (2) равны. Значит, равны и левык части: , или  (т.к. ; ). Таким образом, ABCD – параллелограмм, диагонали которого равны. Значит, это прямоугольник.

 

Еще несколько задач на тему «Большая хорда ближе к центру» предлагаем для самостоятельного решения.

 

Задача 14. Хорды, одинаково наклоненные к одному радиусу в одной точке, равны. Докажите!

Задача 15. Дана окружность и точка K внутри нее. Проведите через K хорду, равную данному отрезку.

Задача 16. Дана окружность и прямая. Постройте на прямой точку K – такую, чтобы касательная из  K к окружности имела заданную длину.

Задача 17. Хорды, одинаково наклоненные к диаметру в двух его точках, равноудаленных от центра, равны. Докажите!

Задача 18. В данной окружности проведите хорду, равную и параллельную данному отрезку.

Задача 19. В треугольник  вписана окружность с центром I. Концентрическая с ней окружность ω пересекает стороны BC, AC и AB в точках  и ;  и ;  и  соответственно (рис.17). Докажите, что .

Задача 20. В круге провели 2009 различны хорд – так, что каждая проходит через середину какой-нибудь другой хорды. Докажите, что все хорды – диаметры.

 

 

 

 

 

 

Григорий Филипповский,

Русановский лицей,

г.Киев