Внешние и внутренние касательные Джироламо Кардано

раздел: “Фамильная” геометрия

ключевые слова: ключевые слова: касательныя, окружность, симметрия, центр и радиусы, чивиано, раствор циркуля, центр и радиусы

 

Блестящий математик, врач, философ, астролог, естествоиспытатель, изобретатель – вот, что мы могли бы сказать о Джироламо Кардано (1501-1576). Формулу для нахождения x из уравнения  называют формулой Кардано. Вот она:

.

 

Кардано первым стал рассматривать всерьез отрицательные числа и даже комплексные числа, хотя и считал их «чисто софистическими». Профессор математики и медицины сначала в Миланском университете, затем в университетах Павии и Болоньи, Кардано в 1545 году пишет свой главный труд: «Великое искусство или о правилах алгебры». В этой книге впервые были предложены методы решения уравнений третьей и четвертой степеней. Способ решения уравнений четвертой степени предложил Феррари – ученик Кардано. А вот с уравнениями третьей степени возникли осложнения. Тарталья обвинил Кардано в том, что тот «вероломно похитил» идею решения таких уравнений, опубликовав решения без его, Тартальи, на то разрешения. Отношения между двумя математиками стали неприязненными.

Тарталья вызвал Кардано на математический поединок, который состоялся только через несколько лет. И противником Тартальи в поединке был все тот же любимый ученик Кардано – Луиджи Феррари (1522-1565).

Судя по всему, Кардано действительно взял за основу метод Тартальи (или же Сципиона дель Ферро, поскольку тот сделал все то же, что и Тарталья, только чуть раньше). Но Кардано существенно расширил, обобщил этот метод. Распространил его на другие типы неполных кубических уравнений. А затем – и на полное кубическое уравнение. Его огромная заслуга состоит в том, что он почувствовал путь, по которому станет развиваться алгебра и сделал первый шаг на этом пути.

Интересно, что сам Кардано значительным математиком себя не считал. Призвание свое видел в медицине. Был отличным диагностом, вылечивал многих больных.

А еще увлекался астрологией, составлял гороскопы. Играл в шахматы, азартные игры. Написал «Книгу об игре в кости», в которой изложил начала теории веоятностей. Предложил поставить в карете короля подвеску из двух валов, качение которых не позволяло бы ей опрокинуться. Вот откуда в технике так широко известны и применимы карданов вал, карданова подвеска.

«Кардано был великим человеком  при всех его недостатках; без них он был бы совершенством.» (Г.В.Лейбниц)

Кардано хорошо знал труды древнегреческих и арабских математиков. Как Хорезми решал квадратное уравнение геометрическими методами, так и Кардано решал кубическое уравнение на языке геометрии: брал определенный куб и разрезал его по плоскостям, параллельным граням куба.

Геометрии Кардано «подарил» только одну задачу: он первым полностью решил задачу о проведении касательных к двум кругам. Задача Кардано хороша еще и тем, что «позвала» многих математиков к составлению задач, связанных с проведением внутренних касательных к двум кругам. В результате их творческой работы сложилась любопытная серия задач. Предлагаем ее вниманию читателей, начиная, конечно же, с задачи Кардано.

Задача Кардано. К двум данным окружностям провести а) внешнюю касательную;  б) внутреннюю касательную.

Решение.

а) Пусть даны окружности ω и ω1 радиусов R и r соответственно (рис.1) с центрами в точках O и O1. Анализ показывает: если  – общая внешняя касательная этих окружностей, то нетрудно построить , где  и . Действительно, на  как на диаметре строим окружность. Затем из точки O раствором циркуля, равным , делаем засечку на окружности – получаем точку E. Луч OE пересекает ω в точке T. Луч из , параллельный OE, пересекает в точке Q. Заметим, что вторая внешняя касательная  строится точно так же.

б) Пусть  – одна из внутренних касательных к окружностям ω и ω1 радиусов R и r с центрами O и O1 (рис.2). Анализ показывает, что в этом случае несложно построить , где  и . Построение аналогично пункту а) с той лишь разницей, что . Так же строится и вторая внутренняя касательная .

Задача 1. Даны две окружности ω и ω1 (рис.3). Постройте прямую, которая касалась бы ω1 и высекала на ω хорду данной длины a.

Решение. На окружности ω строим хорду . Соединяем центр O окружности ω с точкой G – серединой AB. Радиусом OG строим окружность ω2, концентрическую с ω. Остается провести внутреннюю касательную Кардано к окружностям ω1 и ω2. Очевидно, что на окружности ω она будет высекать хорду  (покажите!).

Задача 2. Дана прямая l и окружности ω и ω1 по одну сторону от нее (рис.4). Найдите на l такую точку, что касательные из нее к ω и ω1 будут наклонены под одинаковыми углами к l.

Решение. Строим окружность , симметричную  относительно l. Тогда внутренние касательные Кардано к окружностям ω и ω2 дадут искомые две точки. Покажем это. Пусть KN – внутренняя касательная к ω и ω2 – пересекает l в точке D. Пусть также DG – касательная к ω1. Поскольку  (вертикальные), а  (из соображений симметрии), то  и  – точка, которую необходимо было построить.

Аналогично касательная  в пересечении с l даст точку D1. При этом  и  – также является искомой точкой.

Задача 3. Даны две окружности ω и ω1.  - внешние касательные к этим окружностям.  - внутренние касательные к этим окружностям. AB и CD – отрезки, заключенные между внешними касательными и содержащие внутренние касательные (рис.5). Кроме того, . Докажите справедливость следующих равенств: а) ; б) ; в) .

Решение.

а) Поскольку  (касательные из B к ω), то , откуда   (1)   (касательные из C к ω1). Поэтому   (2).

Сравнив (1) и (2), получаем: .

б) Так как, например, из (1)  и , то . Аналогично, .

в)

Но и

Следовательно, .

Задача 4. AE и AF – касательные к окружности ω. Провести между ними еще одну касательную BC данной длины a.

Решение. Анализ показывает, что если касательная  проведена (G – точка касания BC с ω), и в  вписана окружность ω1, которая касается BC в точке D (рис.6), то DG - внутренняя касательная Кардано к ω и ω1. Продолжив ее до пересечения с AE и AF получим соответственно точки B и C. Таким образом, задача сводится к построению окружности ω1. Пусть L и M – точки касания ω1 соответственно с AC и AB.

Известно, что , где p – полупериметр треугольника ABC и . Поскольку  (покажите), то точки L и M мы можем построить. Значит, можем найти точку O1 – центр ω1 – и построить саму окружность ω1 (ее радиус ). Остается построить внутреннюю касательную к ω и ω1. Затем продолжить ее до пересечения с AE и AF.

Задача 5. Найти точки касания со сторонами треугольника ABC его вневписанных окружностей, не определяя их центров и радиусов.

Решение. Пусть ω – одна из трех вневписанных окружностей , касающаяся BC и продолжений двух других сторон (рис.7). Чтобы построить точку G касания ω со стороной BC, впишем в  окружность ω1 (ее центр O1 – точка пересечения внутренних биссектрис ). Пусть также ω1 касается BC в точке D. Тогда  согласно задаче 3,а ().

Аналогично точке G находятся две другие точки касания вневписанных окружностей со сторонами AB и AC.

Задача 6. На каком расстоянии друг от друга необходимо поместить окружности ω и ω1 радиусов R и r, чтобы их внутренние касательные были перпендикулярны?

Решение. Пусть касательные KN и K1N1 пересекаются в точке E под углом  (рис.8). Их центры O и O1 лежат на одной прямой с E (из соображений симметрии). Очевидно, . Тогда  и . Аналогично, . Значит, окружности надо поместить на расстоянии .

Задача 7. К окружностям ω и ω1 радиусов R и r соответственно проведены внешняя касательная TQ и внутренняя касательная KN (рис.9). Найдите разность .

Решение. Из прямоугольного :

Из прямоугольного :

Тогда .

Задача 8. Окружности ω и ω1 радиусов R и r расположены так, что их внутренние касательные KN и K1N1 пересекаются в точке E под углом  (рис.10). Лучи  KN и K1N1 пересекают внешнюю касательную TQ соответственно в точках B и C. Найдите площадь .

Решение. Нетрудно заметить, что, поскольку , то . Значит, и  (задача 3,б). Кроме того,  (задача 3,а). По теореме Пифагора для  имеем: , или . То есть, .

 

Несколько задач на внутренние и внешние касательные Кардано предложим решить самостоятельно.

 

Задача 9. К окружностям ω и ω1 радиусов R и r проведены внешние касательные TQ и , которые при продолжении пересекаются под прямым углом. Найдите TQ.

Задача 10. Окружности ω и ω1 имеют внешнее касание. TQ и  общие внешние касательные к этим окружностям. Докажите, что в четырехугольник  можно вписать окружность.

Задача 11. Окружности ω и ω1 радиусов R и r соответственно с центрами O и O1 имеют внешнее касание в точке E (рис.11). EF – внутренняя касательная окружностей. Докажите, что:  а)б)в).

Задача 12. Дана прямая l и точка E на ней, а также прямая q. Постройте окружности ω и ω1 с центрами на l, которые внешне касаются в точке E, а прямая q является их общей внешней касательной.

Задача 13. Докажите, что 6 точек на рис.5     принадлежат одной окружности.

Задача 14. AD – произвольная чевиана в треугольнике ABC. В треугольники ADC и ADB вписаны окружности ω и ω1 соответственно (рис.12). Их общая внешняя касательная TQ пересекает AD в точке G. Докажите, что длина отрезка AG не зависит от положения точки D на стороне BC.

 

Литература.

 

  1. Баврин И.И. Фрибус Е.А. Старинные задачи. – М.:Просвещение, 1994.
  2. Баран О.І. Математичні мініатюри. – К.:Ленвіт, 2007.
  3. Боголюбов А.Н. Математики. Механики. Биографический справочник. – К.:Наукова думка, 1983.
  4. Гиндикин С.Г. Рассказы о физиках и математиках. – М.:МЦНМО, 2006.
  5. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.:Просвещение, 1964.
  6. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. – М.:Мир, 1986.
  7. Кованцов Н.И. Математика и романтика. – К.:Вища школа, 1980.
  8. Конфорович А.Г. Визначні математичні задачі. – К.:Радянська школа, 1981.
  9. Кушнір І.А. Методи розв’язання задач з геометрії. – К.:Абрис, 1994.
  10. Попов Г.Н. Сборник исторических задач по элементарной математике. – М.:КомКнига, 2006.
  11. Чистяков В.Д. Старинные задачи. – Минск, Высшая школа, 1966.