Прямая Эйлера и две точки вне прямой: коллекция задач на построение.

раздел: Задачи – ближе к олимпиадным

ключевые слова: точки симеттричные ортоцентру, прямая Эйлера, диаметрально-противоположные точки, построение, серединный перпендикуляр, отрезок ОН, авторские задачи

 

Разве не удивительно, что в любом треугольнике на одной прямой – прямой Эйлера – лежат три замечательные точки:

центр O описанной окружности;

центроид M – точка пересечения медиан;

ортоцентр H – - точка пересечения высот?!!

Убедимся в этом, доказывая попутно важные факты геометрии треугольника. Здесь и далее рассмотрению подлежит _остроугольный треугольник ABC, поскольку случаи тупоугольного треугольника принципиальных отличий не приносят.

Пусть в  высоты  и  пересекаются в ортоцентре H (рис.1). Продолжим  до пересечения с ω – описанной окружностью  – в точке N.  (вписанные, опираются на одну дугу) и  (углы со взаимно-перпендикулярными сторонами). Из равенства треугольников  и  следует:

Факт 1. Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности этого треугольника.

Проведем , где  (рис.2). Так как , то AF – диаметр ω с центром O в середине AF. Пусть также . Очевидно,  – средняя линия в  и . Соединим O и T. Тогда OT – средняя линия в . Следовательно,  и точка T совпадает с  – серединой стороны BC.

Факт 2. . Расстояние от центра описанной окружности до стороны в 2 раза (вдвое) меньше расстояния от ортоцентра до противоположной вершины треугольника.

Факт 3. .Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин его сторон, также принадлежат описанной около этого треугольника окружности. Они диаметрально противоположны соответствующим вершинам треугольника.

Пусть в  медианы  и  пересекаются в точке K (рис.3). тогда  и . Однако  – медиана и в . Значит, , где M – центроид в . Таким образом, .

Факт 4. (собственно прямая Эйлера). Центр описанной окружности треугольника, его центроид и его ортоцентр лежат на одной прямой.

Факт 5. . Находясь на одной прямой с O и H, центроид M произвольного треугольника расположен в 2 раза (вдвое) ближе к точке O.

Ну вот, теперь самое вемя перейти к заявленной теме. Во всех предложенных ниже упражнениях нужно будет с помощью циркуля и линейки построить  по его прямой Эйлера (q) и двум точкам вне этой прямой.

Такие задания развивают детей, углубляют их знания. Они педагогичны, во многом оригинальны и, наконец, вызывают интерес у школьников.

Задача 1. Постройте  по , где  – основание высоты, проведенной из вершины A.

Решение. Очевидно,  (рис.4). Продлеваем  до точки N:  (факт 1). AN – хорда в окружности ω, описанной около . Поэтому серединный перпендикуляр к AN пересекает q в точке O. Прямая, проведенная через  перпендикулярно AN, в пересечении с окружностью  дает недостающие вершины B и C.

Задача 2. Постройте  по .

Решение. Проведем прямую . Перпендикуляры к ней из точек  и  в пересечении с q дадут точки O и H соответственно (рис.5). Продолжим отрезок  за точку H на  и получим величину A (факт 2). Окружность   и прямая  пересекаются в вершинах B и C.

Задача 3. q;B;C.

Решение. Серединный перпендикуляр к BC пересекает прямую Эйлера в точке O (рис.6). Окружность  пересекает прямую , симметричную q, в точке N (факт 1). Прямая, проведенная через N параллельно , пересекает ω в вершине A.

Задача 4. , где W – точка пересечения продолжения биссектрисы угла A с окружностью ω, описанной около .

Решение. Анализ показывает, что поскольку  (по условию), то  и  (рис.7). отсюда построение: серединный перпендикуляр к AW пересекает q в точке O. Строим окружность . Через вершину A проводим прямую параллельно OW. Она пересекает q в точке H, а ω – в точке N. Дальнейшее очевидно!

Задача 5.

Решение. Прямая  пересекает q в точке O (рис.8). Далее строим окружность . Завершить задачу можно двумя способами.

I способ. Перпендикуляр в точке  к отрезку  пересекает ω в вершинах B и C. Теперь мы имеем задачу 3.

II способ. Проводим прямую  на расстоянии  от нее (за точку O). Очевидно,  пересекает ω в вершине A (факт 2).

Задача 6. , где F – точка, симметричная ортоцентру H относительно  – середины BC.

Решение. Так как F – точка, диаметрально противоположная вершине A (факт 3), то . Стало быть, проводим через N прямую  (рис.9). Серединный перпендикуляр к FN пересекает q в точке O. Поскольку  и , где , то дальнейшее очевидно!..

Несколько аналогичных задач предложим для самостоятельного решения.

Задача 7. .

Задача 8. .

Задача 9. .

Задача 10. , где D – точка пересечения прямой  с окружностью ω.

Задача 11. .

Задача 12. .

Замечание. Почти каждая из предложенных 12 задач с помощью фактов 1-5 может быть решена по-другому.

Казалось бы, вот и все. Тема, в общем, исчерпана. Но нет, она имеет свое продолжение. И весьма любопытное!

В свое время Леонард Эйлер показал, что 9  точек в треугольнике:

середины сторон

основания высот:

середины отрезков  – соответственно точки , –

лежат на одной окружности  – рис.10.

Ее называют окружностью Эйлера. Для нашего разговора важно то, что центр E окружности  находится на прямой Эйлера и совпадает с серединой отрезка OH (докажите самостоятельно, показав, например, что ).

При этом, поскольку центроид M в  и в  - один и тот же, а точка O – ортоцентр в  (покажите!), то прямые Эйлера для треугольников ABC и  совпадают!

Следовательно, можем продолжить серию задач, расширить нашу коллекцию упражнений на прямую Эйлера и две точки вне прямой.

Задача 13. .

Решение. Для  имеем прямую Эйлера и 2 вершины (рис.11). находим вершину  (задача 3). Далее строим  по серединам трех его сторон. Это – известное, легкое построение.

Задача 14. .


Решение. Серединный перпендикуляр к , пересекает q в центре E окружности Эйлера (рис.12). Поскольку  - параллелограмм ( и ), то  - диаметр окружности Эйлера. Поэтому, удвоив отрезок  за точку E, получим . Теперь имеем задачу 13.

Задача 15. .

Решение. Очевидно, . Серединный перпендикуляр к  пересекает q в точке E (рис.13). Удваиваем HE за точку E – получим O. Дальнейшее очевидно!

Задача 16. .

Решение. Анаму показывает: AH –диаметр окружности, описанной около черехугольника  (два противоположных угла равны по ), а  - середина AH – центр этой окружности (рис.14). отсюда построение: серединный перпендикуляр к  пересекает q в точке E. На нем откладываем  (радиусы окружности Эйлера). Окружность  пересекает q в ортоцентре H. Удвоив , получаем вершину A, HE – точку O. Дальнейшее очевидно!

Еще несколько аналогичных задач предлагаем решить самостоятельно.

Задача 17. .

Задача 18. .

Задача 19. .

Задача 20. .

 

Литература.

1)      Кушнир И. Геометрия. Планиметрия. Том 1. – К.: Астарта, 1996.

2)     Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Часть I. – М.: Наука, 1991.

3)     Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. – М.: Наука, 1986.