К вопросу о событиях, происходящих на прямой l
раздел: Задачи – ближе к олимпиадным
ключевые слова: биссектриса угла А, инцентр, вневписанная окружность, теорема “трилистника”, формула Эйлера, формула Мольвейде, неравенство
Наверняка каждому из
нас приходилось смотреть кинофильм или читать рассказ, события которого
происходят в одном доме, в одной семье. Отношения между членами семейства
выстраиваются самые разные: от любви до ненависти. На этом фоне происходит
множество событий: радостных и грустных, добрых и не очень… А мы с интересом
следим за ситуациями, в которые попадают обитатели дома, переживаем и
сопереживаем…
Так и наш дальнейший разговор будет связан с событиями, происходящими на одной прямой – прямой l, содержащей биссектрису угла A треугольника ABC.
Основные действующие лица и исполнители (рис.1):
A – вершина 
;
I – инцентр, точка пересечения биссектрис;
L – основание биссектрисы угла A;
W – точка пересечения
прямой l с описанной около окружностью;
– центр вневписанной
окружности, касающейся стороны BC и продолжений двух
других сторон.
Помимо общеизвестных
формул, как-то: 
; 
и других, нам пригодятся
следующие знания:
1) 
– формула
биссектрисы;
2) 
– теорема
«трилистника»;
3) 
(рис.2) - где O
– центр описанной окружности треугольника ABC, 
– основание высоты, проведенной
из вершины A.
Предлагаем доказать
последние три факта геометрии треугольника самостоятельно.
Ну, а нам – самое время переходить к событиям, происходящим на прямой l. И, поверьте, они интересны, часто неожиданны, порой удивительны!..
Задача 1. Докажите, что длина отрезка AI может быть вычислена по формулам:
(1) или 
(2)
( r – радиус вписанной в окружности, p – полупериметр ).
Доказательство. Формула (1) следует сразу из прямоугольного 
(рис.3). Докажем формулу (2):
Задача 2. Докажите справедливость формулы 
(3).
Доказательство. Поскольку 
(формула биссектрисы) и 
– формула (2), то имеем: 
.
Задача 3. Докажите, что 
(4).
Доказательство. Из формулы (3) следует: 
.
С другой стороны, 
.
Тогда, 
, откуда 
.
Замечание. Формула (4) широко применяется при решении разнообразных задач, в том числе при доказательстве неравенств.
Задача 4. Докажите формулу для нахождения отрезка AW:
(5).
Доказательство. 
- по равенству двух углов (рис.4). Тогда 
, откуда 
. Подставив в последнее
равенство , получим требуемое: 
.
Следствие. 
Задача 5. 
(6). Докажите!
Доказательство. По теореме синусов
для 
:
(рис.4), где R
– радиус окружности, описанной около треугольников ABC и ABW. Тогда 
. Поскольку 
(теорема «трилистника»), то 
.
Задача 6. Докажите справедливость формулы: 
(7)
Доказательство. Воспользовавшись формулами (1) и (6), получим:
.
Замечание. Формула (7) очень эффектна при доказательстве формулы Эйлера:
.
Действительно, 
– по теореме о
произведении отрезков хорд (рис.5).
Тогда 
, откуда 
.
Задача 7. Докажите, что 
(8).
Доказательство. Дадим краткие комментарии к рис.6.
(угол между биссектрисами
смежных углов).
Поскольку 
,
то CW является медианой,
проведенной к гипотенузе в 
. Значит, 
и 
.
Следствие. 
, т.к. 
.
Задача 8. Докажите, что верна формула 
(9).
Доказательство. Поскольку , а 
(внешний
для 
), то 
(рис.6). Тогда 
и 
, или 
.
Следствие. Формула площади теперь может иметь такой вид:
.
Задача 9. 
(10). Докажите!
Доказательство. 
. Но – формула (9) и 
-
следствие из формулы (8). Тогда 
, что и требовалось доказать!
Следствие. В любом треугольнике ABC
выполняются неравенства: 
; 
.
Задача 10. 
(11). Докажите!
Доказательство. Пусть t
– прямая, проведенная через вершину B параллельно AW (рис.7). 
. Очевидно, 
(покажите!). 
(по двум
углам). Следовательно, 
, или 
. Поскольку 
, получим требуемое.
Задача 11. Докажите справедливость равенства 
(12).
Доказательство. Рассмотрим
треугольники AWC и CWL.
Они подобны, так как 
у них общий, а 
– вписанные, опираются на одну
дугу (рис.8). Тогда 
. Заменив CW
на IW, получим: 
. Но 
– формула (11). Значит, и 
.
Замечание. Таким образом, прямая l может «похвастаться» тремя равными отношениями:
!!!
Задача 12. Докажите, что 
(13)
Доказательство. 
.
Замечание. Покажем эффективное применение формулы (13) при решении известной олимпиадной задачи.
Дано: 
Найти: 
Решение. Так как 
, то имеем: 
, или 
. Согласно формуле (13) 
,
откуда 
и 
.
Задача 13. (Санкт-Петербургские
олимпиады)
Серединный перпендикуляр к AB пересекает отрезок AW
в точке N, а серединный перпендикуляр к AC
пересекает AW в точке Q (рис.9). Докажите, что 
(14).
Доказательство. 
(внешние для треугольников ABN и AQC соответственно). 
(вписанные, опираются на одну
дугу). 
(аналогично). Тогда третьи углы
соответственно в треугольниках NBW и QCW
равны B и C. Поскольку 
, то 
(по стороне и двум прилежащим
углам). Значит, 
. Но 
– равнобедренный и 
. Следовательно, 
.
Ну, что ж, как видим, событий на прямой l происходит предостаточно. И это далеко не все, о чем мы могли бы рассказать. Но в силу ограниченности наших возможностей рамками статьи, предложим любознательным читателям проследить дальнейшие события на прямой l самостоятельно.
Задача 14. Докажите, что 
(15).
Задача 15. Докажите или опровергните следующие
неравенства – рис.10 
(16).
Задача 16. Докажите справедливость таких формул: 
(17).
Задача 17. Докажите, что
(18).
Задача 18. 
(19). Докажите!
Задача 19. Докажите формулу Мольвейде: 
(20).
Указание. Воспользуйтесь формулой (4).
Задача 20. 
(21). Докажите!
Задача 21. Восстановите треугольник ABC по точкам: A; E; F; W (рис.10).
Задача 22. Докажите, что если 
, то 
.
Задача 23. Дана окружность с центром O и вписанный в нее треугольник ABC. При помощи одной линейки постройте прямую l.
Задача 24. Дано: 
.
Найти: IW.
Ответ. 
.
Задача 25. Докажите, что если 
, то
а) 
; б) 
; в) 
.
Задача 26. D – точка, диаметрально
противоположная точке W. Точка M
– середина BC. Докажите, что
отрезок AI виден из D
под таким же углом, что и отрезок IL из точки M,
или что 
(рис.11).
Григорий Филипповский,
Русановский лицей, г.Киев