Знайдіть кут А, якщо…

раздел: “Фамильная” геометрия

ключевые слова: ключевые слова: принадлежать одному кругу, удивительные точки треугольника, симметрия, равновеликость, прямая Эйлера, внешняя биссектриса, окружность Эйлера

 

Дорогі колеги! В 10ому класі Русанівського ліцею м. Києва було проведено незвичайне тестування з геометрії тривалістю 2 академічні години. Учням запропонували розв’язати 30 різноманітних задач планіметрії, об’єднаних лише умовою:

“Знайдіть кут  нерівнобедреного трикутника , в якому …”

Протягом двох уроків учні були повинні розв’язати як можна більшу кількість задач, продемонструвати ерудицію та знання важливих фактів геометрії трикутника. Вимоги до оформлення були мінімальні – щоб вчитель зрозумів учнівські викладки. Позначення використовувались традиційні. Ми, на всяк випадок, оговоримо їх.

*, ,  – кути  трикутника , які лежать відповідно проти сторін , , ..

*; ;  – його висоти.

*; ;  – бісектриси його кутів.

*; ;  – медіани в цьому трикутнику.

* – ортоцентр трикутника  (точка перетину висот).

 – центроїд (точка перетину медіан).

* і  – відповідно центри описаного і вписаного кіл радіусів  і .

; ;  – відповідно висота, бісектриса і медіана, проведені з вершини кута .

* – площа трикутника .

*; ;  – точки дотику відповідно  зі сторонами ,  і  вписаного в  кола.

 

Кращі результати серед учнів Русанівського ліцею показали:  

Гамалія Ростислав – 23 задачі;

Панасюк Олексій – 22 задачі;

Борисенко Дмитро – 22 задачі.

Зауважимо, що найбільших труднощів завдали задачі за номерами 5 і 9.

Через цей тест ми хотіли б викликати учнів провідних ліцеїв, гімназій, шкіл України, всіх тих, хто любить геометрію, на таке заочне змагання.

Будемо раді почути відгуки колег і учнів щодо такого тестування. Що здається вдалим, що не дуже. На скільки воно є корисним, що потрібно змінити. До речі, може це стане своєрідною формою спілкування вчителів математики, оскільки, нажаль, ми дуже роз’єднані територіально і не завжди маємо можливість особисто виразити симпатію і вдячність один одному.

Перед тим, як безпосередньо перейти до тесту, зауважимо, що деякі задачі в ньому майже дублюють одна одну. Але це не явно, і учням самім необхідно розпізнати за різним тесктом ідентичність окремих задач.

 

Отже, тест:

“Знайдіть кут А нерівнобедреного трикутника АВС, в якому …”

 

1)               і  ділять його на 3 рівні частини.

2)             точки ; ; ;  належать одному колу.

3)             виконується рівність .

4)             .

5)              .

6)             .

7)              сторону  видно під однаковими кутами з точок  і , які знаходяться з одного боку від .

8)             .

9)             .

10)          і .

11)           точки  і  симетричні одна одній відносно  ( – точка перетину продовження бісектриси  з описаним навколо  колом).

12)           і  утворюють рівні кути зі сторонами, що виходять з вершини .

13)          ,  – середня за довжиною сторона..

14)          .

15)           є бісектрисою кута .

16)          тангенси кутів трикутника – послідовні цілі числа ( – найменший кут).

17)          .

18)          ділить площу  навпіл.

19)          .

20)        відрізок  видно з середини  гострокутного  під прямим кутом.

21)          .

22)         .

23)         пряма Ейлера відтинає від  і  рівні відрізки, починаючи з вершини .

24)         ;  і серединний перпендикуляр до  перетинаються в одній точці.

25)         точки  і  симетричні одна одній відносно зовнішній бісектриси кута .

26)          і , де  – найменша висота.

27)         відрізок  в гострокутному трикутнику  є діаметром кола Ейлера.

28)        ; .

29)         трикутник є рівнобедреним.

30)        виконується рівність: .

 

Розв’язання.

1)              Нехай , тоді  (рис.1). Медіана  є бісектрисою в трикутнику  – за умовою. Скориставшись властивістю бісектриси, отримаємо: . Оскільки катет  вдвічі менший за гіпотенузу , то він лежить проти кута . Тоді  і .

 

2)             Відомо, що  (рис.2). Оскільки чотирикутник  – вписаний, то , звідки .

 

 

3)             За умовою , або . За формулою бісектриси . Таким чином ;  і .

 

4)             Скориставшись формулою , отримаємо , або , звідки  або .

 

 

5)             За теоремою Менелая неважко показати, що пряма  перетне продовження  в точці  – основі зовнішньої бісектриси кута  (рис.3). Тоді очевидно, що точки ; ; ;  належать одному колу (). Отже  (вписані, спираються на одну дугу). Але  (зовнішній для ). Таким чином, . Аналогічно можна показати, що .

Оскільки , то маємо , або . Отже .

Примітка. Неважко показати, що пряма  не може перетинати пряму  за

точку .

 

6)             За теоремою косинусів , або . За умовою , або . Але  (формула площі трикутника ). Отже, , або . .

 

7)             Оскільки , а  (центральний), то , звідки  (рис.4).

 

 

8)             (за теоремою синусів). Але  – відома формула для цього відрізка. Таким чином , звідки .  або .

9)             Неважко показати, що  (рис.5). Аналогічно . Тоді  і . Але .

Отже, . Враховуючи умову, отримаємо: .

1)              , звідки . Але в усіх задачах  не є рівнобедреним.

2)             ; , звідки .

10)         Нехай ,  і  (рис.6). Продовження висоти  і  до перетину з описаним колом в точках  і  відповідно. Відомо, що  і . Тоді за теоремою про добуток відрізків хорд: , або .

З трикутника  знайдемо синус кута : .

Але  (з трикутника ).

Отже, . .

 

11)          Неважко показати, що  (рис.7). Але . Тоді й . Оскільки чотирикутник  – вписаний в коло, то , звідки .

 

12)          Нехай  (рис.8). Продовжимо медіану  до перетину з описаним колом в точці .

 (вписані, спираються на одну дугу). Але  (з трикутника ). Тоді й . Таким чином, в трикутнику   і  – діаметр. Тепер неважко показати, що  – центр описаного кола, а  – також діаметр. Отже, .

 

13)         Відомо, що , звідки  (рис.9). Тоді .

Але  (з прямокутного ). Отже, , звідки .

За умовою , тобто , або . .

14)         Оскільки , то бісектриса  ділить навпіл також і  (рис.10). Але за умовою . Таким чином,  – рівнобедрений, і , причому , .

Тоді , або . Очевидно, що в даній задачі кут  гострий, отже .

 

15)         Очевидно, що  – центр зовнівписаного кола для  (точка перетину бісектрис:  внутрішньої кута  і зовнішньої кута ) – рис.11.

Тоді  – друга зовнішня бісектриса в трикутнику  і . Але . Отже , звідки .

 

 

16)         Нехай  і ; ; . Скориставшись відомою формулою для тангенсів кутів трикутника , отримаємо: , або , або  і .

* – стороннє значення для , оскільки в цьому випадку всі три кути в трикутнику  є тупими. Таким чином,     і . .

 

17)          За теоремою синусів для : , або  (рис.12). До того ж  (теорема синусів для ).

За умовою , звідки , або . .

 

18)        Відомо, що . Тоді  (рис.13). Але  (задача 13). Отримаємо,  і .

Кут  повинен бути гострим (інакше відрізок  знаходиться зовні трикутника ), тобто  і .

 

19)         Навколо чотирикутника  можна описати коло (два протилежні кути по ) діаметром якого є відрізок  (рис.14). Тоді за теоремою синусів для  маємо:, або .

Оскільки за умовою , то  і .

 

20)         – як медіани, проведені до гіпотенуз відповідно в трикутниках  і  (рис.15). Тоді  і . Але за умовою , тобто , або  і .

 

21)         За умовою . Це означає, що  (рис.16) і , а . Але  (з трикутника ). Тоді й  або .

 

 

22)        , або , або . .

 

23)        Нехай пряма Ейлера (пряма ) перетинає  і  в точках  і  відповідно і  (рис.17). Тоді . Але й . З рівності трикутників  і  випливає, що , тобто , звідки .

Оскільки кут  – гострий ( знаходиться всередині трикутника  ), то .

 

24)        Нехай ;  і серединний перпендикуляр  до сторони  перетинаються в точці  (рис.18). Тоді  – рівнобедрений ( – висота і медіана) і . Але , а  (з трикутника ). Таким чином, , звідки .

25)         Оскільки за умовою (рис.19) і  то або . В даній задачі кут  – тупий, тоді .

 

 

26)        За умовою  і ;  і (рис.20). Але , тобто , звідки  і .

 

27)         Оскільки – діаметр кола Ейлера, а точка  – середина  – також належить цьому колу, то  (рис.21). Тоді за задачею 20 .

 

28)        Нехай  (рис.22). Тоді  і .  і . Тоді за теоремою косинусів для трикутника : , звідки  і .

 

29)        Очевидно, що саме , а не якось інакше, оскільки  (тупий) – рис.23.

Нехай  і . Для  за теоремою синусів   (1).

Для за теоремою синусів             (2).

Порівнюючи (1) і (2), отримаємо: .

Якщо , то  (оскільки  і  – зовнішні кути відповідно в трикутниках  і ). Тоді , що недозволено – не є рівнобедреним.

Якщо , то , або , або  і .

 

30)        За умовою . Позбавившись знаменника, отримаємо: . Але за теоремою косинусів .

Отже,  і .

 

 

Г. Філіпповський,

Русанівський ліцей, м. Київ.