О Самом Первом Геометрическом Бое! (из мемуаров Барона Мюнхгаузена)

раздел: “Фамильная” геометрия

ключевые слова: три части, различные способы доказательства, Фалес, биссектриса, Ахимед, гомотетия, трапеция

 

Первого апреля сего года стали доступны некоторые из мемуаров Барона Мюнхгаузена, один из которых мы публикуем с небольшими сокращениями.

Надеюсь, все знают о моей большой и искренней любви к геометрии. Иначе разве я стал бы носить на голове свою знаменитую «треуголку»? А дружба Мюнхгаузена с выдающимися математиками всех времен и народов заслуживает отдельного разговора!.. Ну да  ладно!..

Я вам сейчас поведаю историю о том, как мои геометрические способности оказались в эпицентре первых математических боев. Дело было так. Два известных математика (скажем, Леонардо Фиббоначчи и Иоганн Палермский, или Никколо Тарталья и Джироламо Кардано, а может быть двое других) затеяли спор, кто из них сильнее в геометрии. Наслышанные о моих незаурядных познаниях в этой науке, они попросили рассудить, кто лучше владеет геометрией. «С удовольствием!» – оветил я и предложил математикам N и Q (назовем их так, ибо я дал обещание хранить в тайне  имена участников поединка) зайти ко мне завтра, чтобы узнать условия Первого Геометрического боя. Идея проведения Геометрических боев оказалась очень удачной, и сегодня они проводятся везде и всюду. Впрочем, как и идея Олимпийских игр, которая также принадлежит мне. Однажды древнегреческие спортсмены… Но это совсем другая история…

А в ту пору я стал напряженно думать, размышлять и в результате пришел к выводу: лучшим геометром, несомненно является тот, кто на основе прочных знаний лучше фантазирует и изобретает (вспомнить хотя бы моего друга Архимеда!..). Утром следующего дня я сообщил математикам N и Q следующее: «Всем известно, как с помощью циркуля и линейки разделить произвольный отрезок AB на три равные части. Помнится, первым это сделал древнегреческий мудрец Фалес, с которым я состоял в дружеской переписке. Вам же необходимо придумать возможно большее число способов, как разделить данный отрезок AB на три равные части, не пользуясь теоремой Фалеса. А завра пополудни начнем состязание.»

N и Q охотно согласились на такие условия и пошли готовиться к поединку.

Надо сказать, что ажиотаж в городе по поводу Геометрического боя был огромный. Все афишные тумбы пестрели объявлениями: «Внимание! Внимание! Завтра в 12 часов дня в здании ратуши знаменитые математики N и Q померяются силами в борьбе за звание лучшего геометра! Судить поединок будет знаменитый Барон Мюнхгаузен! Приходите все-все-все!!!»

Сказать, что назавтра ратуша была полна народу – ничего не сказать! Не только N и Q, но и мне самому пришлось пробираться в здание с черного хода.

Впрочем, ровно в 12 часов прозвучал гонг, и первый в истории Геометрический бой был объявлен открытым. После чего под одобрительно-ободрительный шум толпы вышел я и сказал: «Сообщаю собравшейся здесь благороднейшей публике условия поединка. Уважаемым математикам N и Q сегодня не раз придется делить отрезок AB на три равные части, не пользуясь теоремой Фалеса. Итак, начинаем!»

Тур 1. Для деления отрезка AB на три равные части нужно использовать медиану. Время выполнения – 5 минут.

Через 5 минут оба математика представили свои проекты. Вот они (рис.1 и рис.2).

Я попросил математиков объяснить уважаемой публике свои решения.

N: Проведя через A произвольную прямую d, отложим на ней  (рис.1). Соединим C и D с точкой  B. Находим середину BD (точка E). Тогда BA и CE – медианы в , а их точка пересечения M – центроид (точа пересечения медиан). Значит, . Остается разделить BM пополам, что является простейшей операцией для циркуля и линейки.

- Здорово! – завопили болельщики N, и с этим трудно было не согласиться. Однако, я взмахом руки успокоил публику и передал слово второму математику.

Q: Строим произвольный треугольник ABC (рис.2). Находим середину AC (точка K), а затем середину BK (точка N). Прямая CN пересекает AB в такой точке T, что . Проводим . При этом KQ – средняя линия в , а NT – средняя линия в .

 - Ура! – возликовали болельщики Q.

Успокоив их, я сообщил счет первого тура: 2:1 в ползу N.

Конечно, болельщики Q были не в восторге от такого счета, но им пришлось согласиться с моими убедительными доводами. Дело в том, что в своем решении Q неявно использовал теорему Фалеса, а это условиями поединка запрещено.

Тур 2. Пускай «поработает» биссектриса! В течение 5 минут необходимо придумать способ деления отрезка AB на три равные части, в котором участвует биссектриса.

Вот что предложили участники поединка.

N: Из точки B как из центра произвольным радиусом q строим окружность. А из точки A делаем засечку вдвое большим радиусом 2q (рис.3). Пусть C – точка их пересечения. Тогда биссектриса угла C разделит AB в отношении . Дальнейшее очевидно!

Q: На произвольном луче из точки A откладываем отрезок . Вдвое меньшим радиусом делаем засечку на AB – точка N (рис.4). Через B проводим параллель отрезку KN, которая пересекает прямую AK в точке C. Биссектриса угла C разделит AB так, что , поскольку . Остается разделить AL пополам.

 - Браво, господа! – воскликнул я. – Вы оба заслуживаете высшей оценки! Поэтому счет второго тура .

Тур 3. Воспользуйтесь «услугами» параллелограмма.

К ужасу болельщиков N, он ничего не придумал в течение 5 минут. В то время как Q предложил целых два решения при помощи параллелограмма. Дадим ему слово.

Решение 1. ACBK – произвольный параллелограмм. N и T – соответственно середины AK и BC (рис.5). Остается показать, что . Покажите!


Решение 2. ACBK – произвольный параллелограмм. Находим N – середину AK и Q – середину BK (рис.6). CN и CQ разделяет AB на три равные части. Для доказательства следует провести диагональ CK и показать, что E – центроид в , а F – центроид в .


Да, Тур 3 оказался явно за  Q.  в его пользу! Болельщики Q от радости стали бросать вверх шляпы и цилиндры, а болельщики N приуныли. Я же, сказав, что все еще впереди, объявил

Тур 4. «Не обижайте трапецию!»

Разделите отрезок AB на три равные части при помощи трапеции и ее свойств. Вот что получилось у соперников через все те же 5 минут.

N: Проведем произвольно  и отложим  на d три любых равных отрезка:    (рис.7). Пусть прямые AC и BD пересекаются в точке Q. Тогда прямые QK и QN пересекут AB в точках E и F – таких, что . Вопрос «Почему?» был закрыт одним только словом математика N: «Гомотетия!»

Q: Создаем произвольную трапецию ACDB (рис.8). Пусть  и . Прямая QO разделит основания трапеции пополам ( и ) согласно так называемой лемме о трапеции. Пусть также . Прямая  QM разделит AB в отношении  . На вопрос «Почему?» он ответил «Подобие» и записал такую цепочку равенств:

Я едва удержался от того, чтобы поаплодировать обоим, но взял себя в руки и объявил счет четвертого тура: .

Тур 5. Нечто оригинальное предложить сопернику! Каждый из математиков должен предложить противнику наиболее оригинальный способ. А тот должен рассказать, почему в предложенном способе отрезок AB разделен на три равные части. На решение вновь отводится 5 минут.

Предложил N.

Решение Q.

Создаем равнобедренный треугольник ABC с углом  при вершине (рис.9). Серединные перпендикуляры к AC и BC разделят отрезок AB на три равные части, поскольку…

Прервем решение Q, ибо к нему легко прийти самостоятельно. Заметим только, что Q пожал руку N в знак восхищения его способом!..

 

Предложил Q.

Решение N.

Отложим три любых равных отрезка:  (рис.10). Построим  перпендикулярно KT. Получим   и  . Затем…

Но и здесь следует прервать докладчика и предложить всем желающим самостоятельно разобраться в решении.

Что касается меня, то я высоко оценил как оба предложенных способа, так и каждое из решений.  – результат пятого тура!

Тур 6, последний. Господа N и Q! Я предлагаю вам разгадать мой способ деления отрезка AB на три равные части в течение 5 минут, если учесть, что  и  (рис.11).

Через 5 минут расстроенный Q сообщил, что не разгадал моего способа. А радостный N представил такое решение.

По теореме Менелая для   и секущей   имеем: , где    и  , откуда  . Далее, по теореме Менелая для  и секущей   получаем…

Тут я его прервал, потому что и так ведь все ясно:  поскольку  , то BF составляет . Молодец, математик N! И хотя за тур полагается давать 2 балла, я объявил счет шестого тура :  в пользу N! – ведь он вспомнил моего друга Менелая – автора знаменитой «Сферики».

К чести Q, он не возмущался тем, что я добавил балл противнику.

Тем временем болельщики лихорадочно подводили итог поединка. Счет оказался ничейным: ! Математики N и Q обнялись, поблагодарили меня. Договорились, что через год Геометрический бой будет повторен. Болельщики, довольные зрелищем и результатом, поспешили на улицы города – погулять, поделиться впечатлениями, выпить с друзьями по бокалу пива…

Вот таким он был, Первый Геометрический бой в истории математики.

 

P.S. Барон Мюнхгаузен, а также математики N и Q, благодарят учащихся Русановского лицея, помогавших находить способы деления отрезка AB на три равные части без теоремы Фалеса: Барановского Александра, Николаева Антона, Тарасюка Александра, Юркина Евгения, Древаля Максима, Маслова Александра, Мазура Антона.

 

 

Доступ к мемуарам получил Г.Филипповский