Лемма о “дважды биссектрисе”

раздел: “Фамильная” геометрия

ключевые слова: свойство биссектрисы, формула биссектрисы, три части, разность углов, инцентр, формулы, неподвижная точка, какой угол больше

 

Любителям геометрии известно достаточно много фактов «из жизни» биссектрисы треугольника. Сюда следует отнести: свойство биссектрисы  (рис.1). То, что биссектриса является геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла. Две знаменитые формулы:  и   (рис. 1). И даже несколько изысканную, но также весьма полезную формулу:  .

Все это так. Биссектриса – один из главных отрезков в геометрии треугольника.

Мы же сейчас поведем разговор о менее популярном, но чрезвычайно важном, необходимом свойстве биссектрисы. О том, что биссектриса угла треугольника делит пополам угол между высотой и радиусом описанной

 окружности, проведенными из вершины того же угла. Иными словами,  (биссектриса угла ) является биссектрисой угла  (рис.2).

После доказательства этого свойства (назовем его леммой о «дважды биссектрисе») постараемся аргументированно показать, насколько оно полезно при решении геометрических задач.

 

Лемма о «дважды биссектрисе».

Биссектриса  треугольника является также биссектрисой угла , где  – центр описанной окружности треугольника ,  – высота  (рис.3).

Доказательство.

Угол является центральным, т.е. . Тогда . Но и  (из ∆). Поскольку  делит  пополам, то, отняв от равных углов равные, мы вновь получим равные. Поэтому, . Лемма доказана.

Задача 1

Дан треугольник . Серединный перпендикуляр к  и продолжение биссектрисы  пересекаются в точке  (рис.4). Докажите, что  лежит на описанной окружности треугольника .

Доказательство.

Проведем высоту  и радиус .  (согласно лемме). Но  - как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых . Следовательно, ∆ – равнобедренный, причем . А это и означает, что точка  принадлежит описанной окружности ∆.

Задача 2

В треугольнике  высота  и медиана  делят угол  на три равные части. Найти угол .

Решение.

Проведем биссектрису  (рис.5). Поскольку  (из условия), то . Следовательно, центр О описанной окружности ∆ лежит на медиане . Но и серединный перпендикуляр  к стороне  содержит точку . Значит,  (где ). Но тогда  – диаметр, и угол  равен .

Задача 3

Постройте треугольник  по ; ; .

Решение.

Треугольники  и  легко строятся по катету и гипотенузе (рис.6). Через вершину  проведем луч n под углом 1, равным углу . Согласно лемме луч  содержит центр  описанной окружности ∆. Но и перпендикуляр , восстановленный в точке  к прямой , также содержит точку . Таким образом,  находится на пересечении  и . Дальнейшее построение очевидно. Анализ решения задачи предлагаем провести самостоятельно.

Задача 4

Известно, что в треугольнике  модуль разности углов  и  равен , т.е. . Найдите величину угла .

Решение.

Пусть . Проведем биссектрису  и найдем  (рис.7). .

Поскольку , то .

Аналогично для случая, когда.

Задача 5

Постройте треугольник  по ; ;  (,  – радиус описанной окружности треугольника ).

Решение.

Откладываем . По обе стороны от  строим  и проводим лучи  и  (рис.8) . Согласно лемме и задаче 4 луч  содержит точку , а луч  содержит высоту . Далее на луче  откладываем отрезок . Из центра  радиусом  проводим окружность. Перпендикулярная к  прямая, проведенная из , пересекает эту окружность в вершинах  и .

Задача 6

Серединный перпендикуляр к и продолжение  пересекаются в точке  (рис.9). Аналогично получены точки  и  (с помощью серединных перпендикуляров к  и , а также биссектрис  и ). Известно, что . Докажите, что треугольник  – равносторонний.

Доказательство.

По задаче 1 точки ; ;  принадлежат описанной окружности  ∆. Тогда ∆=∆=∆ – по трем сторонам (две являются радиусами описанной окружности ∆, а третьи – равны по условию). Согласно задаче 4 . Аналогичные углы в треугольниках  и  равны:  и . Тогда имеем: , откуда .

Задача 7

Известно, что в остроугольном треугольнике   ( – ортоцентр, точка пересечения высот треугольника ). Найдите угол .

Решение.

По лемме о «дважды биссектрисе»  (рис.10). Но, согласно условию, эта биссектриса является также и высотой в ∆. Значит, . Известно, что  (докажите!). Поскольку ∆ – остроугольный, то  и .

Задача 8

Докажите, что в условии задачи 7 выполняется равенство  ( – инцентр, точка пересечения биссектрис треугольника ).

Доказательство.

=∆ – по двум сторонам и углу между ними (рис.11). Действительно, .  – общая сторона и  (согласно лемме). Следовательно, .

Задача 9

Известно, что в треугольнике  инцентр  принадлежит отрезку . Докажите, что в таком случае треугольник  – равнобедренный.

Доказательство.

 – биссектриса в ∆ (по лемме). Воспользуемся известным свойством биссектрисы: биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае  (рис.12).  также является биссектрисой в ∆. Вновь по свойству биссектрисы имеем: . Сравнив первое и второе равенства, получим: . А это и означает, что , поскольку ;  (докажите!).

Задача 10

В прямоугольном треугольнике  () известны высота  и биссектриса . Найдите площадь треугольника .

Решение.

Проведем медиану = m. Поскольку гипотенуза  является диаметром описанной окружности, то  (рис.13). Пусть . Тогда . Из ∆: , а из ∆: . Следовательно, , откуда . Поскольку , то . И, наконец, ,    .

Задача 11

Постройте прямоугольный треугольник  () по точкам ; ;  – соответственно основаниям высоты, биссектрисы и медианы, проведенных из вершины прямого угла. (Польские олимпиады)

Решение.

Точки ; ;  задают прямую , содержащую . Анализ показывает, что поскольку  и  (по лемме), то ∆=∆ () – по гипотенузе и острому углу (рис.14).

Отсюда построение:

Из точки  как из центра «крутим» окружность радиусом . Касательная к этой окружности из точки  пересечет перпендикуляр, восстановленный к  из точки , в вершине . И далее: .

Задача 12

Подпись: AВ треугольнике  известны длины отрезков . Найдите  – длину радиуса описанной окружности треугольника . (Заметим в скобках, что это – одна из трудных задач планиметрии).

Решение.

Пусть  (рис.15). Тогда  и . Проведем . Очевидно, что . Поскольку , то из ∆ имеем: ,  или  . Остается лишь записать ответ: .

 

 

Еще несколько задач, в которых успешно применяется лемма о «дважды биссектрисе», предложим решить самостоятельно.

Задача 13

В треугольнике   и  составляют равные углы соответственно с  и . Найдите угол .

Задача 14

Высота, биссектриса и медиана, проведенные из вершины угла , разделили его на 4 равные части. Найдите углы треугольника .

Задача 15

Точка  движется по окружности с центром .  – неподвижный диаметр.  – проекция точки  на . Докажите, что биссектриса угла  проходит через неподвижную точку.

Задача 16

Центр окружности, проходящей через середины сторон неравнобедренного треугольника , лежит на биссектрисе угла . Найдите угол .

Задача 17

Из вершины угла треугольника  проведены высота, биссектриса и медиана. Какой из углов больший: между высотой и биссектрисой или между биссектрисой и медианой?

Задача 18

В треугольнике  угол  равен . В каком отношении биссектриса угла  делит отрезок  прямой Эйлера (прямой, проходящей через центр описанной окружности , центроид  и ортоцентр )?

Задача 19

Известно, что в треугольнике : ;  и . Найдите .

Задача 20

Постройте треугольник  по вершине , инцентру  и точке  пересечения продолжения высоты  с описанной около треугольника  окружностью.

 

Г.Филипповский,

Русановский лицей,

г.Киев.