Лема про трапецію розв’язує задачу

раздел: “Фамильная” геометрия

ключевые слова: подобие, Якоб Штейнер, равновеликость, совпадение точек, медиана, биссектриса, точка пересечения диагоналей

 

Лемою про трапецію зветься важлива її властивість про 4 точки, які належать одній прямій. Ось вони, ці 4 точки:

точка перетину діагоналей трапеції;

точка перетину продовжень її бічних сторін;

середини основ трапеції.

Або, в позначеннях мал.1, для довільної трапеції  точки , , ,  належать одній прямій.

Сам по собі цікавий та корисний факт, який, до речі, у вигляді задачі брав участь в Київській міській олімпіаді 1954 року.

Доведемо цей факт.

Через точку  перетину діагоналей трапеції  проведемо  (мал.2). Неважко показати, що , або .

Дійсно, з подібності  і  маємо:         (1).

А подібность  і  дає таку пропорцію:          (2).

Порівнявши (1) і (2), отримаємо: . Таким чином,  є медіаною в трикутнику . Тоді очевидно, що пряма  містить медіани  і  в трикутниках  і  відповідно. Лему доведено.

 

Належність цих 4 точок одній прямій для будь-якої трапеції має широке застосування при розв’язанні задач – як учбових, так конкурсних і олімпіадних. Тому здається доречним та вчасним запропонувати добірку задач, в яких вирішальним моментом розв’язання є лема про трапецію.

Задача 1. В трикутнику  проведено середню лінію  (мал.3). За допомогою однієї лінійки знайдіть точку  – середину .

Розв’язання. Оскільки  – трапеція, то, з’єднавши  і ,  і , знаходимо точку  перетину її діагоналей. За лемою про трапецію пряма  пройде через точку  – середину .

 

Задача 2. дано дві паралельні прямі  і  та відрізок  на одній з них. За допомогою однієї лінійки розділіть відрізок  навпіл. (Якоб Штейнер).

Розв’язання. Створимо трапецію   (мал.4). Прямі  і  перетнуться в точці , а прямі  і  – в точці . Пряма  за лемою про трапецію розділить  навпіл.

 

Задача 3. Дано дві паралельні прямі  і . Точка  знаходиться поза ними. Однією лінійкою проведіть через точку  пряму паралельно  і .

Розв’язання. На мал.5 вкажімо порядок ліній, які необхідно провести. Більш докладний коментар до цієї задачі здається зайвим!..

 

Задача 4. На медіані  трикутника  взято точку  (мал.6). Проміні  і  перетинають бічні сторони в точках  і . Довести, що .

Розв’язання. Нехай відрізок  не паралельний до . Проведемо . Тоді  – трапеція, в якій  – точка перетину продовжень бічних сторін;  – середина більшої основи;  – діагональ. За лемою про трапецію пряма  містить другу діагональ і повинна пройти через точку . Але вона проходить через точку , тобто  і .

 

Задача 5. В трикутнику  необхідно провести  таким чином, щоб виконувалася вимога:  (мал.7).

Розв’язання. Очевидно, що точка  перетину  і  належить (за лемою про трапецію) медіані . Оскільки , то  також належить колу, побудованому на  як на діаметрі. Таким чином,  – точка перетину медіани  з колом, діаметром якого є відрізок .

 

Задача 6. Пряма, яка з’єднує середини двох протилежних сторін чотирикутника , проходить через точку перетину його діагоналей. Доведіть, що  – трапеція.

Розв’язання. Нехай  – середина ,  – середина  і  – точка перетину діагоналей  і  чотирикутника , причому  (мал.8). Проведемо . Тоді  – трапеція, і за лемою про трапецію пряма  ділить основу  навпіл, тобто . Отже,  – середня лінія в . Таким чином, . Але прямі  і  перетинаються в точці . В такому разі і  – трапеція.

Задача 7. , , ,  – середини сторін трапеції  (мал.9). Доведіть, що ,  і  перетинаються в одній точці. (Всеросійські олімпіади).

Розв’язання. Проведемо  – середню лінію в трапеції . Оскільки , то  – також трапеція. Нехай  – точка перетину її діагоналей  і . За лемою про трапецію пряма  пройде через точку  перетину продовжень бічних сторін трапецій  і . Тоді  проходить і через  – середину . Отже, ,  і  перетинаються в одній точці.

 

Задача 8.  і  – відповідно медіана і бісектриса в трикутнику . , де  належить  (мал.10). Доведіть перпендикулярність відрізків  і  (Соросівські олімпіади).

Розв’язання. Очевидно, що  – точка перетину продовжень бічних сторін трапеції .  – точка перетину її діагоналей  і . Тоді за лемою про трапецію пряма  повинна пройти через точка  – середину . Оскільки  є середньою лінією в , то  і  (внутрішні різносторонні). Але  ( – бісектриса). Отже,  і  – рівнобедрений, або . Таким чином, в  медіана , яку проведено до сторони , дорівнює половині . Це означає, що , або .

 

Задача 9. Протилежні сторони чотирикутника  продовжено до перетину в точках  і . При цьому  (мал.11). Доведіть, що діагональ  чотирикутника  ділить іншу діагональ навпіл.

Розв’язання. З’єднаємо  і ,  і . Оскільки трикутники  і рівновеликі, то, віднявши площу 4-кутника  (їх спільну частину), отримаємо: . Тоді  – трапеція і  – точка перетину її діагоналей. За лемою про трапецію пряма  пройде через середину .

 

Задача 10. Прямі ;  і  перетинаються в точці  і ділять  на 6 трикутників, як показано на мал.12. При цьому  і . Доведіть, що в такому разі всі 6 трикутників рівновеликі, а точка  є центроїдом в . (Олімпіада мехмата КНУ).

Розв’язання. З’єднаємо  і . Оскільки , то  – трапеція. За лемою про трапецію точка  є серединою , тобто  – медіана в . Тоді  ( – медіана в ).

Отже, , тобто  – також трапеція. За лемою про трапецію  – середина , або  – медіана в . Медіани  і  цього трикутника перетинаються в його центроїді. Отже  також є медіаною, а медіани трикутника як раз і ділять його на 6 рівновеликих частин.

 

Здається, час зупинитися, оскільки запропонована добірка задач міцно захищає лему про трапецію, підкреслює її важливість і корисність. Разом з тим, щоб певна кількість задач на цю тему не залишилася поза нашою увагою, пропонуємо розв’язати решти задачі самостійно.

 

Задача 11. Однією лінійкою розділити площу даної трапеції навпіл.

 

Задача 12. Дано трапецію і точку , що належить її середній лінії. Однією лінійкою побудувати чотирикутник з вершинами в серединах сторін трапеції.

 

Задача 13. Чому центроїди трикутників  і  співпадають? (; ;  – середини сторін ).

 

Задача 14. В чотирикутнику  точки  і  – середини  і  відповідно.  – точка перетину продовжень  і , причому  належить прямій . Доведіть, що  – трапеція.

 

Задача 15.  – медіана в .  і  – бісектриси в трикутниках  і  відповідно.  і  перетинаються в точці . Доведіть, що .

 

Задача 16. На медіані  трикутника  взято довільну точку . Промені  і  перетинають сторони  і  в точках  і  відповідно. Доведіть, що трикутники  і  рівновеликі.

 

Задача 17. Доведіть, що в умовах задачі 9 діагональ  ділить площу чотирикутника  навпіл.

 

Задача 18. Однією лінійкою розділіть площу паралелограма у відношенні .

 

Задача 19. Однією лінійкою проведіть відрізок паралельно основам трапеції в такий спосіб, щоб він ділився діагоналями на 3 рівні частини.

 

 

Література.

1)                  І.А. Кушнір  “Повернення втраченої геометрії”

К., Факт, 2000.

2)                 Г.П. Бевз      Геометрія трикутника

Харків, Основа, 2003.

3)                 Э.Г. Гогман, З.А. Скопец “Задача одна – решения разные

К., Радянська школа, 1998.

4)                 В.В. Прасолов         “Задачи по планиметрии, ч.I

М., Наука, 1986

5)                 В.А. Вышенский и др.      “Сборник задач Киевских математических олимпиад”

К., Вища школа, 1984

6)                 Г.Н. Яковлєв и др. “Всероссийские математические олимпиады школьников”

М., Просвещение, 1992.

 

 

Г. Філіпповский,

Русанівський ліцей,

м. Київ.