Відновіть паралелограм

раздел: “Фамильная” геометрия

ключевые слова: угол между высотами, диагонали, периметр, основы висот, вписаный параллелограм, совпадение центров, равновеликость

 

Вік задач на побудову складає приблизно 2,5 тисяч років. Вони є найстародавнішими задачами геометрії. До того ж, вони – надзвичайно важливі, корисні, красиві та емоційні!

Відновіть трикутник за певними точками…

Відновіть квадрат, якщо задано…

Відновіть чотирикутник, в якому…

Навіть слово „відновіть” несе в собі позитивний зміст, запрошує до конструктивної, конструкторської діяльності. Як приємно і радісно чути: Відновіть рукопис! Відновіть картину! Відновіть храм!

Ось чому, незважаючи на свій вік, задачі на побудову й сьогодні викликають інтерес і повагу учнів. Тому, дорогий читачу, Вашій увазі пропонується колекція з 30 задач на тему „Відновіть паралелограм”. Майже всі вони вимагають певної ерудиції учнів. Деякі можна розглядати під час уроків. Інші доречно давати на математичних факультативах або готуючи учнів до олімпіад різного рівня.

Отже, час переходити до самих задач, кожна з яких розпочинається словами:

„Відновіть паралелограм…”

Зауважимо, що дослідження побудов в межах статті ми робити не будемо. Зробіть його самостійно.

 

Задача 1. За двома його висотами та кутом між ними.

Розв’язання. Нехай задано відрізки  і , які дорівнюють відповідно висотам  і  (рис.1), а також кут  Неважко показати, що  (доведіть!). Тоді за катетом та гострим кутом можна побудувати як , так і  Подальше очевидно!

 

Задача 2. За трьома точками: вершиною A, K – серединою BC та N – серединою CD (рис.2).

Розв’язання. Аналіз показує, що  – середня лінія в  Тоді середина  – точка  – належить діагоналі , причому  Звідси випливає така побудова: знаходимо  – середину  З’єднуємо  з  і продовжуємо  на  за точку  – отримаємо вершину  Оскільки  і  можна вважати задачу розв’язаною.

 

Задача 3. За його діагоналями  і  та кутом  між його сторонами.

Розв’язання. Неважко побачити, що можна побудувати  за стороною , протилежним кутом  і медіаною  до сторони  (рис.3). Тобто, ця задача зводиться до відомої: побудувати трикутник за  (класична задача на сегмент, що містить даний кут).

 

Задача 4. За стороною B, сумою діагоналей  та кутом  між ними.

Розв’язання. Щоб розв’язати задачу, достатньо побудувати  (рис.4). Цей трикутник ми можемо побудувати за стороною  протилежним кутом  та сумою двох інших сторін:  Знов-таки виявилося, що наша задача – аналог задачі на побудову трикутника за  Нагадаємо за допомогою рис.5, як виконується така побудова.

 

Задача 5. За його висотами  і  та периметром 2p.

Розв’язання. Нехай  (рис.6). Нехай також  тоді  З подібності трикутників  і  маємо:  звідки  Таким чином, відрізок  неважко побудувати. Подальше очевидно!

 

Задача 6. За двома протилежними вершинами, що знаходяться в даних точках A і C. До того ж відомо, що дві інші вершини – B і D – знаходяться на даному колі

Розв’язання. Зєднаємо  – середину – з центром кола  Пряма, проведена через точку  перпендикулярно до , в перетині з колом дає шукані вершини  і  (рис.7). Дійсно, діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл, тобто  Оскільки  то  – паралелограм.

 

Задача 7. За прямою d, яка містить діагональ BD, та точками H і G – основами висот, проведених з вершини B (рис.8).

Розв’язання. Аналіз показує, що навколо  можна описати коло (два протилежні кути дорівнюють по ) з діаметром  Причому центр  кола належить прямій  З іншого боку, він також належить серединному перпендикуляру до  (це коло є також описаним навколо ). Звідси така побудова: з’єднуємо  і  Серединний перпендикуляр до  перетне пряму  в точці  до того ж,  Подальше очевидно!

 

Задача 8. За основою H висоти BH і точками T і K – серединами AB і BC відповідно.

Розв’язання. Будуємо відрізок KH, знаходимо його середину X, будуємо пряму TX.  Через точки  K;H проводимо прямі, паралельні до TX (TX – середня лінія трапеції ABKH (), а отже і паралелограма ABCD).  Будуємо  Подальше очевидно!

 

Задача 9. За вершинами A і B якщо відомо: паралелограм ABCD є вписаним в даний паралелограм LMPQ, причому ,  (рис.10).

Розв’язання. Скористаємося таким важливим фактом: якщо один з паралелограмів є вписаним в інший, то їх центри співпадають (доведіть самостійно!). Знаходимо точку  перетину діагоналей паралелограма LMPQ. Та сама точка буде точкою перетину діагоналей паралелограма  Продовжимо  і  до перетину з  та  відповідно. Отримаємо вершини  і  паралелограма

 

Задача 10. За вершиною D та серединними перпендикулярами t і k до сторін AB і BC відповідно (рис.11).

Розв’язання. Через вершину  проведемо пряму, перпендикулярну до . Вона містить вершину  і перетинається з прямою  в точці  Аналогічно пряма через  перпендикулярна до  містить вершину  і перетинає  в точці  Пряма  проведена через  дзеркально до  відносно  містить вершину  Аналогічно пряма  через точку  дзеркальна до  відносно  також містить вершину  Отримавши вершину В, можна вважати задачу розв’язаною.

 

Задача 11. Якщо відомо, що він є рівновеликим до даного чотирикутника ALMD  (рис.12).

Розв’язання. Перетворимо  в рівновелику до нього трапецію  Для цього через  проведемо промінь  а через  – промінь  Оскільки  – трапеція  то  (за властивістю трапеції). Отже,  Залишається перетворити трапецію   в рівновеликий до неї паралелограм  Рис.13  показує, як це можна зробити: через середину  необхідно провести пряму паралельну  Вона перетне прямі  і  відповідно в шуканих точках  і

 

Задача 12. За вершинами A і C, якщо вершини B і D належать сторонам даного кута QTP (рис.14).

Розв’язання. Знаходимо середину  – точку  перетину діагоналей шуканого паралелограма  З точки  проводимо промінь паралельно  до перетину з  в точці . Точка, симетрична  відносно  співпадає з вершиною  (доведіть!) Промінь  перетне  в останній вершині

 

Задача 13. Знаючи положення вершин A і C та відстані n і k від даної точки N в площині ABCD до вершин B і D відповідно.

Розв’язання. Знаходимо  – середину  (рис.15). Тож, маємо  За формулою медіани для   звідки  або  Цей відрізок неважко побудувати. Далі з точки  робимо засічку розхилом циркуля  Вона перетинається із засічкою з точки  розхилом  у вершині  Продовжимо  на таку ж величину і отримаємо вершину

 

Задача 14. За точками T – серединою AB, K – серединою BC і

Розв’язання. З’єднаємо  і   і  Аналіз показує: якщо провести  де  (рис.16), то  буде середньою лінією в  тобто  Оскільки ~, то  Тобто, продовжуючи  за точку  на  отримаємо вершину  Аналогічно  Точку  знаходимо, поділивши  у відношенні  (оскільки ).  Побудуємо вершину  Подальше очевидно!

 

Задача 15. За стороною  відношенням діагоналей  та кутом  між ними.

Розв’язання. Оскільки відношення половин діагоналей  то задачу можна звести до побудови  за  Таким чином, наша задача є аналогом побудови  за    Остання побудова виконується за допомогою кола Аполлонія та сегмента, що містить кут  Рис.18 демонструє, як відбувається така побудова: на відрізку  будуємо сегмент, що містить даний кут  Ділимо відрізок  у відношенні  внутрішнім чином (точка ) і зовнішнім чином (точка ): На відрізку  як на діаметрі будуємо коло Аполлонія  Воно перетне сегмент  в вершині

 

Сподіваємося, що запропоновані задачі викликали у Вас, дорогий читачу, інтерес, певні труднощі, радість від їх розв’язання.

Решта 15 задач, які знов-таки розпочинаються словами „Відновіть паралелограм пропонуємо розв’язати самостійно.

 

Задача 16. За серединами трьох його сторін.

 

Задача 17. За його діагоналями  і  та довжиною перпендикуляра, проведеного з вершини  на діагональ

 

Задача 18. За точкою  – серединою  вершиною  і основою  висоти  яку проведено до

 

Задача 19. За двома сторонами та кутом між діагоналями.

 

Задача 20. За стороною та двома висотами.

 

Задача 21. За стороною, висотою, яку проведено до цієї сторони, та кутом між діагоналями.

 

Задача 22. За вершинами  і точкою  якщо відомо: точки  належать одному колу.

 

Задача 23. За стороною  діагоналлю  та кутом  де  – середина

 

Задача 24. За стороною  якщо відомо: кут між діагоналями дорівнює одному з кутів паралелограма і дорівнює даному куту

 

Задача 25. За трьома точками перетину медіан: в трикутниках   і  (– точка перетину діагоналей паралелограма).

 

Задача 26. За вершиною  та основами  і  висот, проведених з цієї вершини.

 

Задача 27. Якщо відомо, що він повинен бути рівновеликим до даного чотирикутника

 

Задача 28. За вершинами  і  якщо вершини  і  належить даному колу

 

Задача 29. За точками  і  – серединами висот, які проведено з вершини  а також точкою  – серединою

 

Задача 30. Якщо точка перетину його діагоналей знаходиться в даній точці  а вершини належать двом даним колам та двом даним прямим.

 

 

 

 

Г.Філіпповський,

Русанівський ліцей, м.Київ.