Точка D и её участие в математических олимпиадах

раздел: Задачи – ближе к олимпиадным

ключевые слова: медиана, арифметическая прогрессия, неравенство Коши, прямая Эйлера, равносторонний треугольник, произведение отрезков хорд, прямоугольный треугольник

 

Точкой D мы назовём точку пересечения продолжения медианы  треугольника ABC с описанной около этого треугольника окружностью . Почти не появляясь в учебной программе, эта точка активно участвует в различных олимпиадах – от школьных до самых главных в той или иной стране.

Предлагаемая коллекция задач с участием точки D призвана помочь набраться опыта участникам грядущих олимпиад, а также объединить в одно целое разрозненные свойства и зависимости, связанные с точкой D.

Задача 1. Найти длину отрезка AD в треугольнике ABC, если = и BC=а(рис. 1).

Решение. По теореме о произведении отрезков хорд имеем: =, или = , откуда  = . Тогда AD =  +  =  +  = .

Задача 2. Известно, что в ABC выполняется равенство: AM = MD (M – центроид, точка пересечения медиан ABC). Докажите, что квадраты сторон этого треугольника составляют арифметическую прогрессию.

Решение. Поскольку AM = , то, согласно условию,  = AD = , или

16 = 12 + 3, или 4= 3. Но поскольку 4 = 2( + ) –  (формула медианы), то имеем:

2( + ) –  = 3, или  +  = 2, что соответствует требуемому.

Задача 3. Что больше: AD или BC?

Решение. Сравним AD =  +   и BC = a.

По неравенству Коши «для »    +    = a.

Итак, AD  BC. Знак равенства достигается, когда  = , или 2( + ) –  = , или

 +  =  - в случае прямоугольного ABC с прямым углом А.

Задача 4. В прямоугольном треугольнике ABC высота  , биссектриса  и медиана  продолжены до пересечения с описанной окружностью  в точках N; Q и D соответственно(рис. 2). Какая из хорд AN; AQ и AD наибольшая? Решение.  Воспользуемся известным геометрическим неравенство для высоты, биссектрисы и медианы, выходящими из вершины A треугольника ABC: . Заметим, что в неравнобедренном треугольнике неравенство становится строгим. Тогда хорда AD ближе всех расположена к центру О окружности . Поскольку большая хорда находится ближе к центру окружности (покажите!), то .

Задача 5. Восстановите  по точкам N; D; Q из задачи 4.

Построение. Опишем окружность около . Она совпадает с окружностью , описанной около (рис. 2). Так как прямая OQ параллельна AN (О – центр окружности ), то проводим через N прямую параллельно OQ, которая пересекает  в вершине А.

AD и OQ пересекаются в  – середине BC. Прямая, проведенная через  перпендикулярно OQ, в пересечении с  даёт недостающие вершины В и С.

Задача 6. Постройте по вершинам А и В, а также точке D.

Построение. 1 способ: Построим окружность , описанную около (рис. 3). Проведём BK перпендикулярно AD и удвоим BK за точку K: KE=KB. Через E проведёт прямую e параллельно AD. Она пересекает  в искомой вершине C (или ).

2 способ: Вновь проводим окружность  с центром O через точки A, B и D. На BO как на диаметре строим окружность s(рис. 4). Известно, что середины всех хорд окружности , проходящих через B, находятся на окружности s (покажите!). Тогда точка пересечение AD и окружности s совпадает с серединой BD (точка  или ). Прямая B (B) пересекает в вершине C ().

Задача 7. Постройте  по точкам D и , а также прямой Эйлера, которой принадлежат центр описанной около  окружности O, центроид M (точка пересечения медиан) и ортоцентр H (точка пересечения высот ).

Построение. Прямая D пересекает прямую Эйлера в центроиде M(рис. 5). Отложив два отрезка, равных  за точку , получим вершину A (центроид M делит любую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины треугольника). Серединный перпендикуляр к AD пересекает прямую Эйлера в точке O – центре описанной окружности . Далее строим окружность  (O; OA=OD), соединяем О и . Перпендикуляр, проведённый к О через точку , пересекает  в вершинах В и С.

Задача 8. Найдите угол А в , если  и  составляют равные углы соответственно со сторонами АВ и АС.

Решение. Пусть = и А=. Продлим А до пересечения с описанной около  окружностью  в точке D. Тогда  (1 =2 по условию, а 3 =4 – вписанные опираются на одну дугу в окружности ). Следовательно, ACD =AB = 90 и AD – диаметр (рис. 6). Так как серединный перпендикуляр t к стороне ВС также совпадает с диаметром , то  О. Значит, ВС – тоже диаметр  и ВАС = 90 - вписанный, опирается на диаметр. Итак, угол А равен 90.

Задача 9.  и  – высоты в остроугольном , пересекающиеся в ортоцентре H. Точка T симметрична D относительно  – середины ВС(рис. 7). Докажите, что точки А; ; T; H и  принадлежат одной окружности.

Доказательство. Очевидно, около угольника АH можно описать окружность  с диаметром АН (два противоположных угла равны по 90). Остаётся показать, что этой же окружности принадлежит и точка T. Пусть луч Н пересекает  в точке F. Известно, что AF – диаметр  и Н=  (покажите!). Тогда ADF = 90 (вписанный, опирается на диаметр AF). Значит, и TH = 90 (HTFD – параллелограмм). Поскольку ATH = 90, то точка Т также принадлежит окружности  с диаметром АН.

Задача 10. Продолжения медиан А и В пересекают описанную около окружность  в точках  и  соответственно. Известно, что А = В. Обязательно ли  равнобедренный?

Решение. Мы уже знаем, что А =  +   (задача 1). Аналогично В =  + .

Согласно условию,  +   =  + , или ) = ). С учётом формулы медианы  и  имеем:  2() = 2(). Возведя обе части в квадрат и вновь воспользовавшись формулой медианы, получим: , или, после упрощения, .

Возможны 2 случая: а) а=в и  – равнобедренный;

б) . Такой  существует. Например, ; а=1; в=2.

Ответ.  не обязательно является равнобедренным.

Задача 11. Медианы А; В и С при продолжении пересекают описанную окружность  треугольника АВС соответственно в точках ; ; . Известно, что  – равносторонний. Докажите, что и  является равносторонним.

Доказательство. Так как 1 =2 и 3 =4 (вписанные, опираются на одну дугу в окружности ), то , где М – центроид в (рис. 8). Тогда  (1). Аналогично  и  (2). Поскольку  =  по условию, то из (1) и (2) получим: , или , или .           С учётом формулы медианы имеем: , откуда . Получив два аналогичных равенства, приходим к очевидному выводу: а=в=с.

Задача 12. Докажите справедливость неравенства для произвольного :              , где R – радиус окружности , описанной около .

Доказательство. По задаче 1  + , или  . Очевидно,  (хорда не превышает диаметра). Итак, . Аналогично  и . Сложив левые и правые части последних трёх неравенств, получаем требуемое. Знак равенства достигается в равностороннем треугольнике, когда .

Задача 13. Докажите, что в  выполняется неравенство:

 , где 2p – периметр .          Доказательство. Как было показано в задаче 12, ; ; . Тогда , согласно неравенству между средним квадратичным и средним арифметическим. Аналогично ;                        .

Сложив левые и правые части последних трёх неравенств, получим:                     .

 

Несколько задач с участием точки D предложим для самостоятельного решения.

 

Задача 14. Известно, что в  выполняются равенства: . Найдите углы .

Ответ.  120; 30; 30.

Задача 15.  – медиана в . Сумма . Найдите  ( – центроид треугольника ).

Ответ. .

Задача 16. На продолжении медианы взята точка  такая, что                             . Докажите, что .

Задача 17. Восстановите  по точкам: B; C; D.

Задача 18. Продолжение биссектрисы  пересекает описанную окружность  треугольника ABC в точке Q. Постройте  по следующим точкам: A; Q; D.

Задача 19. На медиане  взята точка X такая, что . Докажите, что симметричный образ точки X относительно  – середины BC – совпадает с точкой D.

Задача 20. На медиане  остроугольного  взята точка X такая, что .   H – ортоцентр . Докажите, что точки B, H, X, C принадлежат одной окружности.

Задача 21. Докажите справедливость неравенства в : .

Когда достигается знак равенства?

Ответ.   В равностороннем треугольнике.