Точка Q – основание внешней биссектрисы
раздел: Задачи – ближе к олимпиадным
ключевые слова: теорема Менелая, одной линейкой, диаметр, внутренняя биссектриса, окружность Аполлония, теорема Чевы, касательная к окружности
Мы поведем наш разговор о точке Q – основании внешней биссектрисы угла A треугольника ABC (рис.1). Поскольку точка Q обладает рядом важнейших свойств,
которые часто пригождаются при решении задач, заявленная тема представляется
уместной и полезной. Здесь и далее рассмотрению подлежит разносторонний
треугольник ABC
со сторонами 
, в котором 
.
З а д а ч а 1.
Докажите,
что 
.
Р е ш е н и е.
Проведем 
(рис.2).
Тогда 
.
Так как 
,
то 
.
Нетрудно сосчитать, что 
. Значит, 
– равнобедренный,
и 
.
Из подобия треугольников 
и 
следует:
.
З а д а ч а 2.
и 
–
биссектрисы в треугольнике ABC.
Докажите, что прямые 
и BC пересекаются именно в точке Q.
Р е ш е н и е.
Пусть указанные
прямые пересекаются в точке T (рис.3). По теореме Менелая для 
и секущей 
имеем: 
. Однако,
по свойству биссектрисы 
; а 
. Получаем: 
, откуда 
. Сравнив
полученное соотношение с формулой задачи 1, делаем вывод: 
.
З а д а ч а 3.
В треугольнике ABC указан инцентр I. Пользуясь только линейкой, постройте точку Q.
Р е ш е н и е.
Луч BI. Пересекает AC в точке 
, луч CI пересекает AB в точке 
(рис.4). Согласно задаче
2 
.
З а д а ч а 4.
Дан
треугольник ABC с
указанным центром I.
Одной линейкой постройте угол, равный 
.
Р е ш е н и е.
Строим точку Q согласно задаче 3. Затем проводим
прямые AQ и AI (рис.5). Они параллельны, так как угол между
биссектрисами смежных углов равен .
З а д а ч а 5.
Зная положение вершины A, точки Q, а также точки –
основания биссектрисы, проведенной
из вершины C, постройте треугольник ABC с помощью циркуля и линейки.
Р е ш е н и е.
Соединяем
указанные в условии точки. Поскольку 
, то нам известен угол A. Поэтому под углом A к 
из вершины 
к из
вершины проводим
луч t (рис.6). Далее 
(задача 2).
Внутренняя биссектриса угла A и сегмент, построенный на отрезке и угле 
пересекутся
в инцентре I. Прямые 
и t в пересечении дадут вершину C, а прямые 
и – вершину B.
З а д а ч а 6.
Постройте треугольник ABC по точкам 
, если известна величина
угла 
.
Р е ш е н и е.
Поскольку 
(задача
1), то отношение 
задано. Анализ показывает:
если 
–
основание внутренней биссектрисы угла A, то по свойству биссектрисы 
. Зная
длину отрезка BC и отношение , находим положение
точки (рис.7).
Мы уже показали, что 
(задача 4) 
(внешний
для 
).
Тогда 
.
Теперь не представляет труда построить вершину A: на 
как на диаметре строим окружность
ω. Из точки Q
под углом 
к CQ проводим луч, который пересекает ω
в искомой вершине A.
З а д а ч а 7.
–
внутренняя биссектриса угла A
в треугольнике ABC
со сторонами a, b, c. Найдите расстояния от этой точки Q до точек 
.
Р е ш е н и е.
Пусть 
(рис.8). По свойству
биссектрисы имеем: 
, или 
, откуда
; 
.
Поскольку , то 
, откуда 
; 
; 
.
И последнее: 
, откуда
.
Замечание. Отрезок 
является диаметром
_окружности ω, о которой говорилось в задаче 6. Эта окружность
носит название окружности Аполлония. Она – известное ГМТ, расстояние от
которых до двух данных точек находятся в определенном (данном в условии)
отношении. Подробнее об окружности Аполлония – в [3] (смотрите список
литературы).
З а д а ч а 8.
Найдите площадь
треугольника ABC,
в котором известными величинами являются следующие: 
; 
; 
, где R – радиус описанной окружности
треугольника ABC.
Р е ш е н и е.
Так как , то
имеем: 
,
откуда 
(1).
По известной
формуле 
получаем:
,
откуда 
.
З а д а ч а 9.
N – произвольная точка внутренней биссектрисы в треугольнике ABC. Прямые BN и AC пересекаются в точке E , а прямые CN и AB – в точке F. 
(рис.9). Докажите,
что 
.
Р е ш е н и е.
пересекаются в
точке N. Поэтому по теореме Чевы 
(1).
Вместе с тем по теореме Менелая для и секущей 
:
(1)
Сравнив (1)
и (2), получаем: 
. Но и . Стало быть, .
З а д а ч а 10.
BC – хорда окружности 
, центр которой не
указан. Точка W –
середина дуги BC
(рис.10). Одной линейкой
постройте диаметр окружности .
Р е ш е н и е.
Выберем на (произвольно) точку A по другую сторону от точки W. Прямая AW совпадает с внутренней биссектрисой угла A в треугольнике ABC (
– вписанные, опираются на
равные дуги). Возьмем на AW
произвольную точку N
(внутри ).
Пусть 
и
.
Тогда 
(задача
9). Проводим QA до
пересечения с (вторично) в точке D. Но 
(угол между биссектрисами
смежный углов). Значит, и 
. Следовательно, DW – диаметр.
З а д а ч а 11.
–
биссектрисы в треугольнике ABC.
Известно, что 
. Найдите величину угла B.
Р е ш е н и е.
Как мы уже знаем, 
. Поскольку 
, то
точки 
лежат
на одной окружности (рис.11). Тогда 
(вписанные, опираются на
одну дугу). Но 
(внешний для 
). Поэтому
и 
(1).
Построим точку 
,
аналогичную Q (
), и
соединим C и . Так как 
, то
точки 
также
лежат на одной окружности. Значит, 
(вписанные, опираются на
одну дугу). Однако, 
(внешний для 
). Тогда и
(2).
Сумма углов 1 и 4 равна (). Поэтому сложим
левые и правые части равенств (1) и (2). Получим: 
; откуда
.
Следовательно, 
.
Несколько задач с участием точки Q предложим для самостоятельного решения.
Задача 12. Может ли отрезок QA быть параллельным биссектрисе ?
Задача 13. Дан треугольник ABC с указанным центром I. Одной линейкой постройте центр вневписанной окружности, касающейся стороны AB и продолжений двух других сторон.
Задача 14. Постройте треугольник ABC по точкам 
(с помощью циркуля и
линейки).
Задача 15. K – середина отрезка 
. Докажите, что AK – касательная к окружности, описанной
около
Задача 16. Докажите, что расстояние от точки Q до вершины A может быть вычислено по формуле: 
.
Задача 17. Пусть R – радиус описанной окружности
треугольника ABC, 
– радиус
окружности Аполлония из задачи 7. Покажите, что 
, где S – площадь треугольника ABC.