Ґрунтовна розмова про пряму Симсона-Уоллеса

раздел: Задачи – ближе к олимпиадным

ключевые слова: описанная окружность, перпендикуляры, симметричные образы, “удвоенный” Симсон, окружность девяти точек, прямая, теорема Птолемея, теорема Менелая, теорема Сальмона, пряма Эйлера

 

Чому саме пряма Симсона-Уоллеса, а не просто Симсона, як вона зветься в усій математичній літературі? Ну хоча б заради історичної справедливості, оскільки вперше вона з’являється в працях шотландського математика Вільяма Уоллеса (1768-1843) – професора математики Единбурзьского університету. Прямою Симсона її називають тому, що інший шотландський математик Роберт Симсон (1687-1768, професор в університеті Глазго, за змістом своїх геометричних робіт (про теорему Дезарга, Паскаля та інші) майже повинен був “вийти” на цю пряму.

Саме так математики і вважали. Але справа в тому, що в працях Симсона, які всі збережені, жодного слова немає про пряму Симсона.

Ми в подальшому все ж таки називатимемо її прямою Симсона (так вже склалося), але хоча б в голові будемо тримати, що батьком цієї прямої в дійсності є В.Уоллес.

Отже, час розпочати ґрунтовну розмову про так звану пряму Симона.

 

Теорема 1. Основи перпендикулярів, проведених з довільної точки описаного навколо трикутника  кола на його сторони (або їх продовження), належать одній прямій – прямій Симсона.

Доведення. Нехай  – довільна точка кола, описаного навколо трикутника  (мал.1). ; ;  – основи перпендикулярів, проведених з точки  на прямі, що містять сторони ,  і  відповідно. Необхідно довести, що точки ; ;  належать одній прямій.

Оскільки  – вписаний чотирикутник, то            (1).

Але навколо чотирикутника  також можна описати коло (два протилежні кути дорівнюють по ), тобто             (2).

Порівнюючи (1) і (2), робимо висновок: . Тоді очевидно, що рівні і кути  і . Нехай кожен з них дорівнює .

 (вписані, спираються на одну дугу в колі з діаметром).

Аналогічно  – вписані, спираються на одну дугу в колі з діаметром .

Оскільки , то точки  належать одній прямій.

 

Задача 1. Чи існують точки, які належать своїй прямій Симсона?

Розв’язання. Так, існують. Це, наприклад, вершини трикутника .

Дійсно, пряма , що містить висоту, проведену з вершини , є прямою Симсона точки  (мал.2).

 

Задача 2. Для яких точок пряма Симсона співпадає з однією з сторін трикутника ?

Розв’язання. Нехай  – точка, діаметрально протилежна точці  (мал.3). Оскільки  (вписані спираються на діаметр), то точки  і  відповідно співпадуть з точками  і  прямої Симсона, тобто пряма, що містить сторону  і буде прямою Симсона точки .

Отже, прямі Симсона точок, діаметрально протилежних вершинам , , , містять стороні трикутника .

 Неважко показати, що інших точок, для яких прямі Симсона співпадають зі сторонами, не існує.

 

Задача 3. Для будь-якої точки  кола, описаного навколо трикутника , її симетричні образи відносно сторін трикутника належать одній прямій. Доведіть!

Розв’язання. Нехай точки ; ;  – симетричні образи точки  відносно сторін ,  і  відповідно (мал.4).

Оскільки середини відрізків ; ;  – точки  – належать одній прямій (прямій Симсона), то й точки  також належать одній прямій (іноді кажуть: тут ми маємо справу з “подвоєним” Симсоном).

 

Задача 4. Довести, що прямій  задачі 3 належить також і точка  – ортоцентр трикутника .

Розв’язання. З’єднаємо точки  і  задачі 3 з ортоцентром  (мал.5). Нехай висоти  і  перетинають описане коло в точках  і  відповідно. Відомо, що точки, симетричні ортоцентру відносно сторін трикутника, належать описаному колу, тобто  і . З чотирикутника  видно, що . Якщо ми доведемо, що , то задача буде розв’язана.

З міркувань симетрії  і  перетнуться в точці , що належить , а  і  – в точці , що належить . Тоді , а . Але  і  – як вписані. Отже, .

Враховуючи те, що  (на цю дугу спирається вписаний кут ), отримаємо: . Таким чином, ортоцентр  належить прямій .

 

Задача 5. Пряма Симсона точки  ділить відрізок  навпіл. Довести.

Розв’язання. Оскільки за задачею 4 ортоцентр належить прямій , яка є “подвоєним” Симсоном, то очевидно, що середина відрізка  – точка  – належить прямій  – прямій Симсона точки  (мал.6).

 

Задача 6. Точка перетину  прямої Симсона точки  і відрізку  належить колу 9 точок трикутника . Довести.

Розв’язання. Відомо, що центром кола 9 точок є точка  – середина відрізка , а радіус цього кола дорівнює  – половині радіуса кола, описаного навколо трикутника . Тоді очевидно, що  – середня лінія в трикутнику  (мал.7), тобто . Це і означає, що  – середина  – належить колу 9 точок трикутника .

 

Задача 7. Відрізок  паралельний прямій Симсона точки  ( – точка перетину прямої  з описаним колом). Довести.

Розв’язання.  - вписані, спираються на дугу         ( мал.8).  – вписані, спираються на одну дугу в колі з діаметром . Оже, , або відрізок  паралельний прямій .

 

Задача 8. Кут між прямими Симсона точок  і  дорівнює половині дуги між цими точками. Довести.

Розв’язання. Відрізки  і  паралельні прямим Симсона точок  і  (задача 7).Отже, кут між прямими Симсона точок  і  дорівнює куту  між паралельними їм відрізками  і  (мал.9).

А кут  дорівнює половині дузі  (вписаний). Але  – як дуги, що містяться між паралельними хордами, тобто твердження задачі доведено: .

 

Задача 9. Проекції основи висоти трикутника на дві інші сторони та дві інші висоти належать одній прямій. Доведіть!

Розв’язання. За мал.10  і  – проекції основи  висоти  на  сторони і  відповідно, а  і  – проекції  на висоти  і . Потрібно довести, що  – це одна пряма.

Навколо  можна описати коло  (два протилежні кути дорівнюють по ). Тоді для точки  описаного навколо  кола пряма буде прямою Симсона.

Аналогічно навколо  можна описати коло. І для точки  цього кола, описаного навколо трикутника  пряма  буде прямою Симсона.

Оскільки точки  і  належать кожній з двох прямих Симсона , то взагалі всі чотири (; ; ; ) належать одній прямій.

 

Задача 10. В гострокутному трикутнику   на стороні  побудовано квадрат з центром  – всередину трикутника, а на стороні  – квадрат з центром  – в зовнішню сторону.  – основа висоти  трикутника  (мал.11). Довести, що точки ; ;  належать одній прямій.

Розв’язання. Продовжимо  до перетину з  в точці . Покажемо, що пряма  – пряма Симсона для точки  кола, описаного навколо трикутника .

Оскільки ; ;  – перпендикуляри на сторони (або їх продовження) трикутника , то достатньо довести, що точка  належить колу, описаному навколо цього трикутника.

Нехай . Тоді  і . В чотирикутнику  підрахуємо, що , а суміжний з ним . Таким чином , тобто точки , , ,  належать одному колу.

 

Задача 11.  – проекція сторони  на пряму  Симсона точки  (мал.12). довести, що .

Розв’язання. Нехай  - точка перетину відрізків  і.  Відомо, що  (задача 7). Навколо чотирикутника  можна описати коло з діаметром. Тоді  - спираються на дугу . Але  (вписані, спираються на дугу ).

Тобто , що означає паралельність прямих  та .

Тоді  – паралелограм ( і ). Отже . Але . Таким чином, .

 

Задача 12. Скориставшись прямою Симсона, доведіть теорему Птоломея: добуток діагоналей вписаного в коло чотирикутника дорівнює сумі добутків його протилежних сторін.

Розв’язання.  – діаметр кола, описаного навколо чотирикутника  (мал.13) і , або .

*– діаметр кола, описаного навколо , . тоді , і .

Аналогічно  – діаметр кола, описаного навколо , звідки  (теорема синусів для ), або .

Враховуючи те, що , отримаємо:, або , або, після скорочення на , . Це вже і є теоремою Птоломея для вписаного в коло чотирикутника  (дійсно,  і  – його діагоналі;  і  та  і  – пари протилежних сторін).

 

Перед тим, як запропонувати декілька задач для самостійного розв’язання, доведемо узагальнену теорему про пряму Симсона-Уоллеса.

 

Теорема 2 (узагальнена). З довільної точки  описаного навколо трикутника  кола проведено прямі, що перетинають ,  і продовження  в точках ;  і  відповідно (мал.14) – під рівними кутами . Довести, що і в цьому випадку  – одна пряма.

Доведення. Щоб  довести теорему, покажемо рівність кутів 1 і 2.

Оскільки  (суміжний з кутом ), то навколо чотирикутника  можна описати коло, внаслідок чого .

Навколо  також можна описати коло () і .

Можна описати коло і навколо  ( як суміжний з кутом ).

Оскільки чотирикутники і  вписані, то . Звідки випливає, що , або . Теорему доведено.

 

 

Задачі для самостійного розв’язання

 

Задача 13. Пряма Симсона точки  кола, описаного навколо рівностороннього трикутника , ділить радіус  навпіл. Доведіть.

 

Задача 14. Доведіть теорему про пряму Симсона за допомогою теореми Менелая.

 

Задача 15. Якщо основи перпендикулярів, проведених з точки  до сторін трикутника  (або їх продовжень) належать одній прямій, то точка  належить описаному навколо трикутника  колу. Доведіть! (задача, обернена до теореми про пряму Симсона).

 

Задача 16. Доведіть, що прямі Симсона діаметрально протилежних точок перпендикулярні, і що вони перетинаються на колі 9 точок трикутника .

 

Задача 17. Відновіть  за кутом  та його прямою Ейлера (прямою, що містить центр описаного кола  і ортоцентр ).

 

Задача 18. Якщо через точку  описаного навколо трикутника  кола провести три довільні хорди і на кожній з них як на діаметрі побудувати коло, то ці кола попарно перетнуться в трьох точках, які належать одній прямій (теорема Сальмона).

 

Задача 19.  – вписаний чотирикутник.  – довільна точка кола. Для точки  і кожного з трикутників , , ,  існують свої прямі Симона. Довести, що проекції точки  на ці прямі Симсона належать одній прямій – прямій Симсона чотирикутника.

 

 

Література.

 

1)            Боголюбов А.Н. Математики. Механики. Биографический справочник.

Киев, “Наукова думка”, 1983.

2)           Бородин А.Н., Бугай А.С.  Биографический словарь деятелей в области математики.

Киев, “Радянська школа”, 1979.

3)           Глейзер Г.И. История математики в школе  классы.

Москва, “Просвещение”, 1983.

4)           Зетель С.И. Новая геометрия треугольника.

Москва, “Учпедгиз”, 1940.

5)           Коксетер Г.С.М., Грейцер С.Л. Новые встречи с геометрией.

Москва, “Наука”, 1978

6)           Кушнір І.А. Методи розв’язання задач з геометрії.

Київ, “Абрис”, 1994

7)           Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Часть .

Москва, “Наука”, 1991

8)          Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия (библиотечка Квант).

Москва, “Наука”, 1986