Про точку Торрічеллі – докладно і не поспішаючи!

раздел: Задачи – ближе к олимпиадным

ключевые слова: Пьер Ферма, равносторонние треугольники, вписанные углы, задача Штейнера, поворот, теорема Птолемея, теорема Лейбницы, неравности, неравность Шрейбера

 

В XVII сторіччі цією чудовою точкою цікавилися такі видатні математики, як Вівіані, Каваль’єрі, Торрічеллі, Ферма (до речі, троє перших – учні Галілео Галілея). Пізніше цю точку та пов’язані з нею задачі підняв на рівень проблеми швейцарський математик Якоб Штейнер. Ось чому головна задача нашої розмови зветься задачею Штейнера. А точка, яка відповідає вимогам задачі, зветься точкою Торрічеллі (інколи точкою Ферма). Але давайте казати про все – по черзі…

 

Задача 1. На сторонах трикутника  в зовнішню сторону побудовано рівносторонні трикутники. Навколо них описані кола, які звуться колами Торрічеллі. Доведіть, що вони перетинаються в одній точці – точці Торрічеллі.

Розв’язання. Нехай побудовано рівносторонні трикутники ;  та  (рис.1).

Опишемо кола навколо перших двох, які перетнуться в точці . Оскільки , то . Аналогічно . Тоді і  (). Отже, точки ; ; ;  належать одному колу. А це й означає, що коло, описане навколо , пройде також через точку .

Задача 2. Доведіть, що відрізки ; ;  попередньої задачі перетинаються в одній точці, а саме в точці  Торрічеллі.

Розв’язання. З’єднаємо точку Т  з ;  і  (рис.2).  (вписані, спираються на одну дугу). А , оскільки  – вписаний чотирикутник. Отже,  і точки  належать одній прямій.

Аналогічно можна показати, що точки , а також  належать одній прямій. Тобто відрізки ;  і  перетинаються в одній точці – точці Торрічеллі.

 

Задача 3. Доведіть, що  (рис.3).

Розв’язання. Неважко побачити, що  – за двома сторонами та кутом між ними. Дійсно, ;  і . Таким чином, .

Аналогічно  покажемо, що .

 

Зробимо важливе зауваження: з точки  Торрічеллі кожну сторону видно під кутом . Тому вона знаходиться всередині трикутника, якщо жоден з кутів трикутника не досягає . Ця точка знаходиться в вершині тупого кута трикутника, якщо він дорівнює . І врешті решт, точка Торрічеллі міститься поза трикутником, якщо один з кутів перевищує .

 

Задача 4 (головна, задача Штейнера). В площині  з кутом  ( – найбільший кут) знайдіть точку, сума відстаней від якої до вершин мінімальна.

Розв’язання. Нехай точка  є кандидатом на точку, яку ми шукаємо. Виконаємо поворот всієї системи відносно вершини  на  проти годинникової стрілки. При цьому точка  перейде в  (вона нас не цікавить)  – в , вершина  –в  і відрізок  – у відрізок  (рис.4). Оскільки  і  (при повороті довжини відрізків не змінюються), то  –рівносторонній і . Тоді . Довжина ламаної мінімальна, коли вона є відрізком. Таким чином, точки  повинні належать одній прямій.

В такому разі  і . Але  (при повороті  переходить в ), тобто .

Стає очевидним, що точка є точкою Торрічеллі для , або .

 

Задача 5. В  кут  дорівнює . Доведіть, що точка мінімуму суми  співпадає з вершиною , яка, до речі, співпадає з точкою .

Розв’язання. Знов-таки можна скористатися поворотом, але ми запропонуємо інший спосіб доведення. Через вершини  і  проведемо прямі перпендикулярно  та  відповідно. Нехай вони перетнуться в точці  (рис.5). Очевидно, що при цьому  (кути  і  прямі, а ). Через точку  проведемо пряму під кутом  до прямої . Отримаємо рівносторонній . Для будь-якої точки всередині або на стороні рівностороннього трикутника сума її відстаней до сторін дорівнює висоті цього трикутника (відомий факт). Тобто  ( – висота рівностороннього трикутника ).

Очевидно, що  (; ; ). Отже, в нашій задачі вершина , яка співпадає з точкою Торрічеллі, є шуканою точкою.

 

Задача 6.  – точка Торрічеллі в гострокутному . Доведіть, що  (рис.6).

Розв’язання. За теоремою Птоломея для вписаного чотирикутника  маємо: , або . Або, після скорочення на : . Оскільки точки  належать одній прямій (див. розв’язання задачі 2),то отримаємо необхідне: .

 

Задача 7. На відрізках , ,  ( – точка Торрічеллі в  з кутами, меншими за ), довільно взято точки , ,  відповідно (рис.7). Чи буде  точкою Торрічеллі для ?

Розв’язання. Так, оскільки з точки Торрічеллі всі сторони трикутника  видно під кутами .

 

Задача 8. Побудувати гострокутний  за , , , де  – точка Торрічеллі трикутника .

Розв’язання. На стороні  будуємо сегмент, який містить кут  (рис.8). В протилежну сторону знов-таки на  будуємо рівносторонній . З точки  розхилом циркуля, який дорівнює , робимо засічку. Оскільки  (задача 6), то в перетині з сегментом отримаємо необхідну вершину .

 

Задача 9. В трикутнику  зі сторонами , ,  всі кути менші за .  – точка Торрічеллі цього трикутника. Знайдіть .

Розв’язання. Оскільки точка  знаходиться всередині такого трикутника і  (задача 6), то розглянемо  (рис.8).

За теоремою косинусів ;

;

.

Але  (теорема косинусів для ) і  (за формулою площі для ).

Тож, маємо: .

Звідси , де  знайдемо за формулою Герона.

 

Задача 10. Дано  з площею , найбільший кут якого не досягає .  – точка Торрічеллі цього трикутника. Знайдіть суму: .

Розв’язання. Площа   трикутника АВС може бути обчислена за такою формулою:

, або .

Звідси .

 

Задача 11. В умовах задачі 9 знайдіть відстань , де  – точка перетину медіан трикутника .

Розв’язання. Скористаємося теоремою Лейбниця для будь-якої точки  площини  та його центроїда : .

Оскільки відрізки , ,  дорівнюють відповідних медіан, то . Але  - доведіть!

Отже, . Нехай роль довільної точки  виконує потрібна нам точка Торрічеллі.

Тоді , або .

Враховуючи формули задач 9 і 10, отримаємо: , звідки .

 

Наслідок. З отриманої формули випливає популярна нерівність геометрії трикутника: .

 

Задача 12. - точка Торрічеллі в трикутнику , найбільший кут якого не досягає . Доведіть, що  ( – радіус вписаного в  кола).

Розв’язання.  (задача 9).

Але  (наслідок задачі 11).. Тоді .

Скористаємося відомою нерівністю  (доведіть її!).

Маємо: , або .

 

Наслідок. Оскільки для трикутників задачі 12 сума  є мінімальною, то для них  виконується  нерівність:  (де – довільна точка площини трикутника , всі куті якого менші за ).

Зауваження. Взагалі для будь-якої точки  в площині довільного  виконується нерівність  (так звана нерівність Шрейбера).

 

Декілька задач, пов’язаних з точкою Торрічеллі, пропонуємо розв’язати самостійно.

 

Задача 13. Доведіть, що в трикутнику не може бути більше однієї точки з мінімальною сумою відстаней від неї до вершин.

 

Задача 14. В трикутнику  . Доведіть, що властивість мінімальної суми відстаней від точки до вершин має вершина , а не точка Торрічеллі.

 

Задача 15. Точка  знаходиться всередині рівностороннього . , ,  – перпендикуляри до його сторін. Доведіть, що  – точка Торрічеллі для .

 

Задача 16. Побудувати  за , ,  ( – точка Торрічеллі, причому Т знаходиться всередині ).

Задача 17. Під час чемпіонату світу з футболу 4 стадіони будуть знаходитися у вершинах квадрата АВСD (рис.10). Як провести сітку доріг, що з’єднує усі стадіони? До того ж сітка доріг повинна мати найменш можливу довжину.

Відповідь. Шукана сітка доріг складається з відрізків ; ; ; ; , де .

 

Задача 18. Центри рівносторонніх трикутників, розглянутих при побудові точки Торрічеллі (задача 1) самі є вершинами рівностороннього трикутника. Доведіть! (Цю задачу приписують Наполеону).

 

Задача 19. В трикутнику  . Доведіть, що .

 

 

 

 

 

 

Література

 

1)      Возняк Г.М., Гусев В.А.         Прикладные задачи на екстремум. –

М.: Просвещение, 1985

2)     Зетель С.И.                               Новая геометрия треугольника. –

М.: Учпедгиз, 1948.

3)     Зетель С.И.                               Задачи на максимум и минимум.- ОГИЗ Гостехиздат,

                                                           1948.

4)     Кушнір І.А.                                Повернення втраченої геометрії. –

К.: Факт, 2000.

5)     Скопец З.А., Жаров В.А.        Задачи и теоремы по геометрии. –

М.: Просвещение, 1962.

6)     Тихомиров В.М.                                  Рассказы о максимумах и минимумах. –

М.: Наука, 1986.

7)     Шарыгин И.Ф.                         Геометрия. Задачник, 9-11 классы. –

М.: Дрофа, 1997.