Коллекционируя признаки трапеции

раздел: Задачи – ближе к олимпиадным

ключевые слова: средняя линия, параллелограмм, равносторонний треугольник, трапеция, середины оснований, равновеликость, разрезание, формулы

 

Теорема о средней линии трапеции, равной полусумме оснований, решается легко и многими способами. А вот её двойник – «задача наоборот», как говорят дети, вызывает серьёзные затруднения.

 

Задача 1.     Средняя линия 4х-угольника (отрезок, соединяющий середины противоположных сторон) равна полусумме двух других сторон.

Докажите, что этот 4х-угольник — трапеция.

Решение     Пусть – отрезок, соединяющий середины  и  4х-угольника . И по условию . Пусть также  – середина диагонали  (рис. 1). Тогда  – средняя линия в , то есть  и . В то же время – средняя линия в . Значит  и . Получаем . Для  не            

             рис. 1                             выполняется неравенство треугольника. Следовательно  – одна прямая и .  – трапеция.

 

***

Задача понравилась и запомнилась. Подтолкнула к поиску признаков трапеции (условий, при которых 4х-угольник  является трапецией). В результате сложилась коллекция задач на эту тему. С удовольствием выносим её на суд читателей с надеждой, что она (коллекция) вызовет интерес, принесёт пользу.

***

 

 Задача 2.      – средняя линия 4х-угольника . Диагональ  пересекает  в точке , а диагональ  пересекает  в точке  (рис. 2). Известно, что . Докажите, что  — трапеция.

Решение     Через вершину  проведём прямую параллельно  до пересечения с  в точке . Тогда ( – средняя линия в ). Через  проведём линию параллельно  до пересечения с прямой  в точке . Поскольку  – средняя линия в , то .        рис. 2                                Тогда 4х угольник   параллелограмм, так    

как  и  . Но его противоположные стороны  и  пересекаются в точке  (). Противоречие. Значит . Аналогично показываем, что и .

 — трапеция.

 

Задача 3.     Диагонали  и  четырёхугольника  пересекаются в точке . Известно, что ,  и  (рис. 3). Докажите, что  — трапеция.

Решение     Пусть , тогда  (внешний для ). В то же время . Тогда  по 2м сторонам и углу между ними. Поскольку в равных треугольниках соответствующие углы равны, то . Следовательно,  и .

 

 

 

 

 

 

             рис. 3

 

 

Задача 4.     В четырёхугольнике  проведены диагонали  и . При этом  (рис. 4). Докажите, что  — трапеция.

Решение     Опишем окружность около .  – вписанный, и он в 2 раза меньше чем .  –

вписанный и . Следовательно, точка  — центр окружности, описанной около . Тогда  и . Найдём , или , вычтя из  угол 1, равный . Итак, . Значит, .

 

 

 

 

 

 

 

        рис. 4

 

Задача 5.     На стороне  четырёхугольника  найдена точка  такая, что  — равносторонний. Точка  на стороне  такова, что  — равносторонний. Докажите, что  — трапеция.

Решение     Поскольку  (рис. 5), то

около четырёхугольника  можно описать окружность. Пусть в таком случае  (вписанные, опираются на одну дугу). Аналогично  и около  также можно описать окружность. Пусть тогда . При этом  (из равностороннего ).

Получим: .

Значит,  и  — трапеция.

 

 

       рис. 5

 

 

Задача 6     В четырёхугольнике  точки  и  – соответственно середины  и .  – точка пересечения диагоналей  и . Известно, что точки  лежат на одной прямой. Докажите, что  — трапеция.

Решение     Пусть  и  не параллельны. Проведём через  прямую параллельно . Пусть она пересекает  в точке , а  в точке  (рис. 6). Тогда  – трапеция. Для неё выполняется так называемая лемма о трапеции: середины оснований, точка пересечения продолжений боковых сторон и точка пересечения диагоналей трапеции лежат на одной прямой.

Значит, по лемме о трапеции, точка  – середина , а  в таком случае – средняя линия в . То есть . Но эти прямые пересекаются в точке . Противоречие. Следовательно, наше

         рис. 6                         допущение о непараллельности  и      

                                            неверно, то есть .

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 7.     Диагонали  и  четырёхугольника  пересекаются в точке . При этом . Докажите, что  — трапеция.

Решение     Поскольку вертикальные углы  и  равны (рис. 7), то данное в условии равенство означает: .

Но тогда , так как к равным площадям добавляется площадь . Значит, высоты  и  в этих треугольниках равны (у  и  – общее основание ). Если , то  и  — трапеция.

 

 

 

     рис. 7

 

 

Задача 8.      – средняя линия четырёхугольника , соединяющая середины  и . Известно, что  делит площадь  пополам. Докажите, что в таком случае  — трапеция.

Решение     Соединим точку  с вершинами  и  (рис. 8). Так как  – медиана в , то . Тогда , но у этих треугольников основания равны (). Значит, равны и высоты: . Таким образом  и  — трапеция.

 

 

 

 

 

 

         рис. 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 9.     Диагонали  и  четырёхугольника  делят его на четыре треугольника с площадями  (рис. 9). Известно, что . Докажите, что  — трапеция.

Решение      Для произвольного четырёхугольника  выполняется равенство  – покажите! Тогда, с учётом условия,  и . В таком случае имеем задачу 7.  — трапеция.

 

 

 

 

 

 

 

       рис. 9

 

 

Задача 10.     В четырёхугольнике  точка  – середина . Известно, что . Докажите, что  — трапеция.

Решение     Согласно условию, . Удвоим отрезок  за точку  – получим точку  (рис. 10). Очевидно,  (по 2м сторонам и углу между ними). Значит, . Для  отрезок  является медианой. Тогда . Но у нас . Таким образом,  и точки  принадлежат одной прямой. Поскольку , то и .

 

 

 

 

 

      рис. 10

 

 

 

 

 

 

 

Несколько задач из коллекции признаков трапеции

предлагаем решить самостоятельно.

 

 

Задача 11.     В четырёхугольнике  известно, что  и  (рис. 11). Докажите, что  — трапеция.

 

 

 

 

 

 

 

       рис. 11

 

 

Задача 12.     Окружности  и  пересекаются в точках  и . Через  и произвольно проведены соответственно секущие  и  (рис. 12). Докажите, что  — трапеция.

 

 

 

 

 

 

 

 


              рис. 12

 

 

Задача 13.     Четырёхугольник  разрезали на два вписанных 4х угольника. Докажите, что  — трапеция.

Задача 14.   Дан четырёхугольник . Точки  и  такие, что  и  (рис. 13). Докажите, что  — трапеция.

 

Задача 15.     Дан четырёхугольник . Окружность, описанная на стороне  как на диаметре, касается . Окружность, описанная на  как на диаметре, касается . Докажите,

          рис. 13                             что  — трапеция.

 

Задача 16.     В четырёхугольнике  диагонали пересекаются в точке . Точка  – середина . Прямые  и  пересекаются  в точке . Известно, что точки  лежат на одной прямой. Докажите, что  — трапеция.

 

Задача 17.      и  — диагонали в четырёхугольнике .

Согласно рис. 14 : 

 .

Докажите, что  — трапеция.

 

 

 

 

 

 

 

 

               рис. 14

 

 

Задача 18.      – середина стороны  в четырёхугольнике . . Известно, что . Докажите, что  — трапеция.

 

Задача 19.     Дан четырёхугольник  площади . Его диагонали  и  пересекаются  в точке . Площади треугольников  и  соответственно равны  и . Известно, что .

Докажите, что  — трапеция.

 

Задача 20.     В четырёхугольнике  выполняется следующее равенство:

.

Докажите, что  — трапеция.

 

 

Г. Филипповский,

Русановский лицей,

г. Киев.