Радость школьной геометрии Григория Филипповского

Параллелограмм Вариньона решает задачи

раздел: “Фамильная” геометрия

ключевые слова: ключевые слова: средняя линия, делиться пополам, построение, формулы, равновеликость, нахождение точки, неравенство

 

Французский математик и механик Пьер Вариньон (1654-1722), руководивший “Журналом учёных” в Париже и написавший учебник по элементарной геометрии, по-видимому, первым заострил внимание на, казалось бы, довольно очевидном факте: середины сторон произвольного выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Действительно,  - параллелограмм (рис.1), поскольку  (средние линии треугольников  и ). Кроме того,  и  (по той же причине), а значит, .

В дальнейшем мы будем называть параллелограмм  параллелограммом Вариньона, а отрезки  и , соединяющие середины противоположных сторон, – средними линиями четырёхугольника . Отметим также, что в рассматриваемых ниже задачах все четырёхугольники  выпуклые. А предлагаемая ниже подборка призвана убедить в том, что параллелограмм Вариньона – надёжный помощник при  решении важных планиметрических задач.

 

Задача 1. Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин его диагоналей. Докажите.

Решение.  и  (рис.1). Тогда .

 

Задача 2. Докажите, что средние линии четырехугольника  в точке пересечения делятся пополам.

Решение. Поскольку  и  – диагонали параллелограмма Вариньона, то, очевидно, что в точке пересечения они делятся пополам.

Задача 3. Верно ли, что из половин диагоналей и любой из средних линий четырёхугольника  можно составить треугольник?

Решение. Да, так как параллелограмм Вариньона  существует для любого четырёхугольника . Тогда треугольники и  – искомые (рис.2).

 

Задача 4. Средние линии четырёхугольника  равны  и , угол между ними . Найти диагонали.

Решение. Пусть  и  и  (рис.3). Тогда  и .

Из  по  теореме косинусов: . Но . Поэтому , или .

Аналогично из  найдём , а потом и . .

 

Задача 5. Постройте ромб с вершинами на сторонах прямоугольника .

Решение. Поскольку диагонали прямоугольника равны, то параллелограмм Вариньона для прямоугольника  и будет искомым ромбом  (рис.4).

 

Задача 6. Сумма квадратов диагоналей четырёхугольника в 2 раза больше суммы квадратов его средних линий. Докажите.

Решение. В параллелограмме Вариньона  (рис.3), как и в любом другом параллелограмме, сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, или . Учитывая, что  и , получим: .

 

Задача 7. Докажите, что площадь параллелограмма Вариньона  равна половине площади четырёхугольника .

Решение.

 (рис.5).

Учитывая, что  и ; , получим требуемое.

 

Задача 8. Все четырёхугольники, имеющие общие середины сторон, равновелики. Докажите. (Всеукраинские олимпиады).

Решение. Действительно, все эти четырёхугольники имеют один и тот же параллелограмм Вариньона. Поскольку его площадь равна половине площади каждого из исходных четырёхугольников (задача 7), то тем самым их равновеликость доказана.

 

Задача 9. Диагонали четырёхугольника  равны  и , а средние линии четырёхугольника равны между собой. Найдите его площадь.

Решение. В параллелограмме Вариньона  (рис.5) диагонали  и  равны (согласно условию). Значит,  – прямоугольник, и . Но  и . Тогда . Однако  (задача 7). Следовательно, .

 

Задача 10. Докажите, что площадь четырёхугольника равна произведению средней линии на одну из диагоналей и на синус угла между ними.

Решение. Согласно рис.6 необходимо доказать, что .

Треугольник  – половина параллелограмма Вариньона .  (). Но .

, а .

Так как , то , что и требовалось доказать.

 

Задача 11. Если диагонали четырёхугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий. Докажите. (Всеукраинские олимпиады).

Решение. В случае равенства диагоналей  и  параллелограмм Вариньона  становится ромбом, а площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: . Тогда .

 

Задача 12. Одна из средних линий четырёхугольника  равна . Его диагонали равны  и . Найдите площадь четырехугольника.

Решение. Пусть в четырехугольнике  (рис.6) ;  и .

Тогда  и . По формуле Герона нетрудно найти площадь треугольника : .

Следовательно, .

Задача 13. Докажите, что  (рис.7).

Решение. Поскольку  – параллелограмм и диагонали разбивают его на 4 равновеликих треугольника, то для решения задачи достаточно доказать, что . Покажем это.

Известно, что медиана делит  треугольник на две равновеликие части. Поэтому равные площади указаны соответствующими буквами на рис.8. При этом  и .

Теперь становится очевидным, что, согласно  рис.7,    .

 

Задача 14. Внутри четырёхугольника  найдите такую точку , чтобы площади четырёхугольников, получающихся при соединении точки  с серединами сторон были равны. (Польские олимпиады).

Решение.  (задача 13). Но  и  – согласно условию (рис.9). Тогда  и . Поэтому точка  находится на прямой, параллельной  , проведённой на расстоянии  от .

Аналогично можно показать, что точка  находится на прямой, параллельной , проведенной на расстоянии  от . Пересечение проведенных прямых даст искомую точку .

 

Задача 15. Внутри четырехугольника  площади  берется точка  и отражается относительно середин всех его сторон. Получается новый четырехугольник . Докажите, что . (Киевские олимпиады).

Решение. Стороны параллелограмма Вариньона  и параллелограмма  соответственно параллельны (рис.10), и ;  (средние линии в треугольниках  и ).

Тогда .

 

Задача 16. В четырехугольнике  отмечены точки  и  – середины диагоналей  и соответственно (рис.11). Докажите, что . (Всероссийские олимпиады).

Решение. Достаточно доказать, что точки  и  находятся строго внутри параллелограмма Вариньона , т.к. .

Очевидно, что  и . Пусть точка совпадет с  и находится вне . Но тогда , а  – противоречие. Если же , то , чего также быть не может. Значит, точка  находится внутри .

Аналогично показывается, что и точка находится  внутри параллелограмма . Тогда , что и требовалось доказать.

 

Задача 17. Средние линии четырехугольника  и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. (Киевские олимпиады).

Решение. Заметим, что  – диагональ как в параллелограмме Вариньона , так и в параллелограмме  – рис.11.

Пусть  – середина диагонали .

Тогда  и .

Тем самым доказаны оба утверждения задачи.

 

Задача 18. Сумма квадратов сторон четырёхугольника равна сумме квадратов его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Решение. Согласно рис.11 необходимо доказать, что .

По формуле медианы для : , где ; .

Откуда .

Применив аналогично формулу медианы для треугольника  и учитывая, что ,  и , получим: .

В параллелограмме Вариньона  .

Итак, получаем: , или .

 

Задача 19. Восстановите 5^иугольник по серединам его сторон.

Решение. Пусть , , , ,  – соответственно середины сторон , , , ,  в 5^иугольнике  (рис.12).

Анализ показывает, что зная точки ; ; , мы можем построить параллелограмм Вариньона  для четырехугольника . Теперь нетрудно построить  по трем точкам ; ;  – серединам его сторон. Дальнейшее очевидно.

 

Задача 20. Постройте трапецию по двум диагоналям, одному из углов и отрезку, соединяющему середины оснований.

Решение. Пусть в трапеции , которую необходимо построить, нам известны длины диагоналей  и , отрезка  и величина угла  (рис.13).

Поскольку  и , то по трем сторонам нетрудно построить . Далее достроим  до параллелограмма Вариньона . На отрезке KN строим сегмент, вмещающий угол . Через точку  N  проводим прямую параллельно KM, которая пересечёт сегмент в точке А. Дальнейшее построение очевидно.

 

 

Ряд задач, решаемых с помощью параллелограмма Вариньона, предложим Вашему вниманию для самостоятельного решения.

 

Задача 21. Восстановите параллелограмм  по точкам , ,  – серединам трех его сторон.

 

Задача 22. Точка пересечения средних линий четырехугольника есть центроид системы четырех точек, лежащих в его вершинах. Докажите.

 

Задача 23. При последовательном соединении середин сторон трапеции образовался квадрат со стороной . Найдите площадь трапеции.

Ответ. .

 

Задача 24. Дана трапеция  и точка  на её средней линии. Одной линейкой постройте параллелограмм Вариньона трапеции .

 

Задача 25. Вершины четырехугольника – середины сторон ромба со стороной 4 и углом . Определите вид четырехугольника и найдите его площадь.

Ответ. Прямоугольник. .

 

Задача 26.  – параллелограмм Вариньона произвольного четырехугольника  (рис.2). Докажите, что .

 

Задача 27. Восстановите () -  угольник по серединам его сторон.

 

Задача 28. Докажите, что в обозначениях  рис.8 . (Всероссийские олимпиады).

 

Задача 29. В четырехугольник  вписываются всевозможные параллелограммы, стороны которых параллельны диагоналям этого четырехугольника. Какой из этих параллелограммов имеет наибольшую площадь? (Всероссийские олимпиады).

Ответ. Параллелограмм Вариньона!..

 

 

Г. Филипповский,

Русановский лицей,

г. Киев.