Галльский Аполлоний Франсуа Виет

раздел: “Фамильная” геометрия

ключевые слова: Папп Александрийский, задача Аполлония, центр гомотетии, окружность, общая касательная, инверсия, от 0 до 8 решений

 

Начнем с истории, которая произошла в 1594 году в Париже. Нидерландский посол на одном из приемов у короля Франции Генриха IV стал утверждать, что среди французов нет крупных математиков.

-   Почему, дорогой посол, Вы так считаете?

-   Да потому, что наш знаменитый ученый муж Ван Роомен предложил всем математикам в качестве приглашения на диспут решить его , Ван Роомена, уравнение. При этом он сказал мне, что во Франции едва ли даже стоит показывать это уравнение.

-   Оно при Вас?

-   При мне, Ваше величество!

-   У меня есть выдающийся математик! Позовите Виета! – вскричал Генрих IV.

… Раскрыв письмо Ван Роомена, Виет увидел уравнение 45ой степени!..

В правой части уравнения Виет узнал длину стороны правильного 15и-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса. Эта сторона опирается на дугу  (). Поскольку уравнение 45й степени с крайними коэффициентами 1 и 45, то x – это хорда  части дуги в . Первое значение x найдено: .

Затем Виет нашел еще 22 корня предложенного уравнения с помощью общей формулы:

 при . Это уравнение имело еще и 22 отрицательных корня, но ни Виет, ни другие математики того времени отрицательные числа не рассматривали). Итак, задача Ван Роомена решена! Что же послать ему в ответ? Конечно же свою любимую задачу! Решив ее недавно, Франсуа Виет стал называть себя не кем-нибудь, а Apollonius Gallus (французский Апполоний). Еще бы: ведь после Аполлония (III век до н.э.) ее никто не мог решить с помощью циркуля и линейки! Об этой задаче упоминает Папп Александрийский. Но ее решение содержалось в утраченном труде Аполлония «О касаниях». Вот она, задача Аполлония:

Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей.

Ван Роомен не сумел решить задачу Аполлония циркулем и линейкой, хотя сделал это с помощью конических сечений (что свидетельствует о высоком уровне его геометрических знаний). К чести Ван Роомена, узнав решение Виета, он выразил искреннее восхищение, стал почитателем таланта и другом Франсуа Виета.

Ну а мы перейдем к рассказу о том, как Apollonius Gallus решал задачу Аполлония. И поведем наш разговор обстоятельно, не спеша, останавливаясь на всех промежуточных фактах, дабы задача Аполлония не показалась сложной.

(1) Из точки Q вне окружности ω проведены произвольно две секущие:  и  (рис.1). Тогда . Действительно,  – по теореме о квадрате касательной.

(2) На рис.2 показано, как проводить общую внешнюю касательную  (касательную Кардано) к окружностям ω1 и ω2 с радиусами R1 и R2 соответственно.  можно построить, поскольку известна его гипотенуза  и катет .


(3) Две внешние касательные окружностей , а также линия их центров , пересекаются в одной точке – центре гомотетии Q этих окружностей (рис.3).

 

(4) Из центра гомотетии Q окружностей  проведены касательная  и произвольная секущая, пересекающая  соответственно в точках L и D; E и N (рис.4).

Покажем, что .

 (гомотетия). Тогда, очевидно, .

 (угол между касательной и хордой равен половине соответствующего центрального угла).

 (вписанный угол измеряется половиной соответствующего центрального угла).

Следовательно,  и  (по двум углам). Значит, , откуда .

(5)  Постройте окружность ω, проходящую через две данные точки B и С и касающуюся данной окружности  (рис.5).

Решение. Построим на BC как на хорде произвольно окружность , чтобы ока пересекала . Пусть D и E – точки пересечения этих окружностей. Пусть также . Тогда, согласно (1), для окружности  выполняется равенство: . Но для искомой окружности ω: , где K – точка касания ω и .

Итак, отрезок  нам известен и засечка раствором циркуля, равным QK, дает на  точку K. Остается построить окружность ω, проходящую через точки B, C, K.

(6) Пусть окружность ω касается окружностей  в точках D и E (рис.6). Докажите, что прямая DE пересекает линию центров  именно в точке Q – центре гомотетии окружностей .

Доказательство. Пусть O – центр окружности ω. Соединим D и E, E и Q. Если для треугольника  будет выполняться равенство:

,

то по теореме Менелая это и будет означать, что  – одна прямая.  (радиусу окружности ω).

Остается доказать, что . А это верно, что следует из подобия треугольников  и . Итак, .

(7) Постройте окружность ω, проходящую через данную точку B и касающуюся двух данных окружностей .

Решение. Пусть такая окружность ω построена. Пусть также D и E – точки касания ω соответственно с  (рис.7). Согласно (6) прямая DE пересекается с прямой  в точке Q – центре гомотетии окружностей . Построим общую внешнюю касательную  к окружностям  - пункт (2). Она также проходит через точку Q - пункт (3). Соединим B и Q. Если бы окружность ω была построена и BQ пересекала ее вторично в точке C, то для ω выполнялось бы равенство:  – пункт (1). Кроме того,  – пункт (4). Следовательно, , и мы можем найти положение точки C на прямой BQ: .

Тепеь мы можем построить окружность ω, имея окружность  , которой она должна коснуться, а также точки B и С пункт (5). Задача решена!

(8) Постройте окружность ω, касающуюся трех данных окружностей  – задача Аполлония.

Решение. Пусть данные окружности  имеют радиусы соответственно  и  – наименьший из них (рис.8). Уменьшим все окружности на . Тогда  превратится в концентрическую ей окружность  радиуса . Аналогично  – в  радиуса , а  превратится в точку. Обозначим ее B. Теперь мы можем построить окружность , проходящую через точку B и касающуюся окружностей  и  – пункт (7). Остается увеличить окружности  и  на . Точку B превратить в окружность  радиуса . А окружность  уменьшить на  и превратить в искомую – концентрическую ей окружность . И мы получим требуемое.

Вот за какую задачу Франсуа Виет отважился назвать себя Аполлонием Галльским!

Сделаем несколько существенных замечаний.

  1. Те, кто знаком с инверсией, могут выполнить задачу Аполлония значительно быстрее. Однако идеи, заложенные в построении – те же самые!
  2. В зависимости от расположения окружностей  задача Аполлония может иметь от 0 до 8 решений. Например, в случае, изображенном на рис.9, решений нет.

Что касается рассмотренного расположения окружностей на рис.8, то тут возможны и другие варианты касания окружности  с тремя данными окружностями. Как, скажем, на рис.10 и рис.11.

  1. Рассмотриме самостоятельно случаи взаимного расположения окружностей, показанные на рис.12-15. Напомним при этом, что точку тоже можно считать окружностью.

 

Литература.

1.    Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть I. – М.:Учпедгиз, 1957.

2.   Александров И.И. Сборник геометрических задач на построения. – М.:Учпедгиз, 1950.

3.   Астряб О.М. Смогоржевський О.С.та інші. Методика розв’язування задач на побудову. – К.:Радянська школа, 1960.

4.   Виленкин Н.Я. Шибасов Л.П. Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики. – М.:Просвещение, 1996.

5.   Заславский А.А. Геометрические преобразования. – М.:МЦНМО, 2004.

6.   Кирзимов В.А. Белоногова Е.М. Преобразование плоскости. – М.:Московский лицей, 2000.

7.   Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.:Просвещение, 1967.

8.  Лемэръ Методическое пособіе къ решенію геометрическихъ задачъ. Задачи на построеніе. – Москва, 1907.